Question

（1）如图，顺次连接正方形ABCD的各边中点，得到一个小正方形EFGH．则正方形EFGH与正方形ABCD的面积比是多少？
（2）依次连接矩形、菱形和平行四边形的各边中点，所得四边形与原四边形的面积比是多少？
（3）对于任意四边形，是否也有类似结论？

Answer 1

考点：中点四边形

专题：

分析：（1）根据已知可求得ABCD的边长及对角线的长，根据中位线的性质可得到EFGH的边长，从而可求得其面积．
（2）根据菱形的性质、矩形的判定定理可以证得四边形EFGH是矩形．由三角形中位线定理和矩形的面积公式进行填空．

解答：解：（1）如图1，连接AC、BD．
∵点E、F分别是AB、BC边上的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=

1

2

AC，且EF∥AC．
同理，HG=

1

2

AC，且HG∥AC，
∴EF=HG，且EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∴EH∥FG，EH=FG=

1

2

BD．
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴S_{四边形EFGH}=EF•EH=

1

2

BD•

1

2

AC=

1

2

S_{正方形ABCD}．
∴S_{四边形EFGH}：S_{正方形ABCD}=1：2．即正方形EFGH与正方形ABCD的面积比是1：2；

（2）如图2，依次连接菱形的各边中点．
∵点E、F分别是AB、BC边上的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=

1

2

AC，且EF∥AC．
同理，HG=

1

2

AC，且HG∥AC，
∴EF=HG，且EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∴EH∥FG，EH=FG=

1

2

BD．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴S_{四边形EFGH}=EF•EH=

1

2

BD•

1

2

AC=

1

2

S_{正方形ABCD}．
同理，依次连接矩形和平行四边形的各边中点，所得四边形与原四边形的面积比是1：2．

（3）由（2）得，对于任意四边形，依次连接四边形的各边中点，所得四边形与原四边形的面积比是1：2．

点评：本题考查了中点四边形．解答该时，利用了三角形中位线定理，菱形的对角线互相垂直平分的性质，以及矩形的判定与性质．