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【题目】如图,等腰 于点 ,点 延长线上一点,点 是线段 上一点,

下面结论:

是等边三角形;


其中正确的是( ).
A.②③
B.①②④
C.③④
D.①②③④

【答案】D
【解析】连接OB,

∵AB=AC,AD⊥BC,∴OB=OC, BD=CD,∠BAD= ∠BAC= ×120°=60°,∴∠ABC=90°-∠BAD=30°,
∵OP=OC,∴OB=OC=OP,∴∠APO=∠ABO,∠DCO=∠DBO,∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°;故①正确;
∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°,∴∠APC+∠DCP=150°,∵∠APO+∠DCO=30°,∴∠OPC+∠OCP=120°,
∴∠POC=180°-(∠OPC+∠OCP)=60°,∵OP=OC,∴△OPC是等边三角形;故②正确;在AC上截取AE=PA,

∵∠PAE=180°-∠BAC=60°,∴△APE是等边三角形,∴∠PEA=∠APE=60°,PE=PA,∴∠APO+∠OPE=60°,
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°,∴∠APO=∠CPE,∵OP=CP,
在△OPA和△CPE中, ,∴△OPA≌△CPE(SAS),∴AO=CE,∴AC=AE+CE=AO+AP;故③正确;
过点C作CH⊥AB于H,

∵∠PAC=∠DAC=60°,AD⊥BC,∴CH=CD,
∴S△ABC= AB·CH,S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC AP·CH+ OA·CD
= AP·CH+ OA·CH= CH·(AP+OA)= CH=·AC,
∴S△ABC=S四边形AOCP
故④正确.所以①②③④都正确,故答案为:D.
连接OB,可证明①②正确,在AC上截取AE=PA,可证③正确,过点C作CH⊥AB于H,可证④正确。

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成绩频数分布表

组别

成绩(分)

频数

A

50≤x<60

6

B

60≤x<70

m

C

70≤x<80

20

D

80≤x<90

36

E

90≤x<100

n

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