Question

已知抛物线C₁的函数解析式为y=ax²+bx-3a（b＜0），若抛物线C₁经过点（0，-3），方程ax²+bx-3a=0的两根为x₁，x₂，且|x₁-x₂|=4．
（1）求抛物线C₁的顶点坐标．
（2）已知实数x＞0，请证明x+≥2，并说明x为何值时才会有x+=2．
（3）若将抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C₂，设A（m，y₁），B（n，y₂）是C₂上的两个不同点，且满足：∠AOB=90°，m＞0，n＜0．请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式．
（参考公式：在平面直角坐标系中，若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则P，Q两点间的距离为）

Answer 1

【答案】分析：（1）求抛物线的顶点坐标，需要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数a、b的值．已知抛物线图象与y轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到a的值）；然后从方程入手求b的值，题干给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式），结合根与系数的关系即可求出b的值．
（2）x•=1，因此将x+配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证．
（3）结合（1）的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线C₂的解析式；在Rt△OAB中，由勾股定理可确定m、n的关系式，然后用m列出△AOB的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定△OAB的最小面积值以及此时m的值，进而由待定系数法确定一次函数OA的解析式．
解答：解：（1）∵抛物线过（0，-3）点，∴-3a=-3
∴a=1
∴y=x²+bx-3
∵x²+bx-3=0的两根为x₁，x₂且|x₁-x₂|=4
∴|x₁-x₂|==4，且b＜0
∴b=-2
∴y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴抛物线C₁的顶点坐标为（1，-4）．

（2）∵x＞0，∴x+-2=（-）²≥0
∴x+≥2，显然当x=1时，才有x+=2．

（3）由平移知识易得C₂的解析式为：y=x²
∴A（m，m²），B（n，n²）
∵△AOB为直角三角形，
∴OA²+OB²=AB²
∴m²+m⁴+n²+n⁴=（m-n）²+（m²-n²）²
化简得：m n=-1
∴S_△AOB==
==（m+）≥•2=1
∴S_△AOB的最小值为1，此时m=1，A（1，1）
∴直线OA的一次函数解析式为y=x．
点评：该题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、不等式的应用等知识，解题过程中完全平方式的变形被多次提及，应熟练掌握并能灵活应用．