Question

16．如图1，AB是⊙O的直径，AC是弦，点P是$\widehat{BC}$的中点，PE⊥AC交AC的延长线于E．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）如图2，作PH⊥AB于H，交BC于N，若NH=3，BH=4，求PE的长．

Answer 1

分析 （1）连接BC、OP，由AB是⊙O的直径、PE⊥AE知PE∥BC，根据点P是$\widehat{BC}$的中点知OP⊥BC，即可得OP⊥PE，得证；
（2）由（1）知，四边形PECQ是矩形，从而可设PE=CQ=BQ=x，根据勾股定理求得BN的长，先证△BHN∽△BQO得$\frac{BH}{BQ}=\frac{BN}{BO}=\frac{NH}{OQ}$，表示出BO、OQ的长，再证△PQN∽△BHN得$\frac{PQ}{BH}=\frac{QN}{NH}$，即$\frac{\frac{1}{2}x}{4}=\frac{x-5}{3}$，求出x即可．

解答 解：（1）如图1，连接BC、OP，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AE，
又∵PE⊥AE，
∴PE∥BC，
∵点P是$\widehat{BC}$的中点，
∴OP⊥BC，
∴OP⊥PE，
∴PE是⊙O的切线；

（2）如图2，连接OP，

由（1）知，四边形PECQ是矩形，
∴设PE=CQ=BQ=x，
∵NH=3，BH=4，PH⊥AB，
∴BN=5，
∵∠B=∠B，∠BHN=∠BQO=90°，
∴△BHN∽△BQO，
∴$\frac{BH}{BQ}=\frac{BN}{BO}=\frac{NH}{OQ}$，即$\frac{4}{x}=\frac{5}{BO}=\frac{3}{OQ}$，
解得：BO=$\frac{5}{4}$x，OQ=$\frac{3}{4}$x，
∴PQ=PO-OQ=BO-OQ=$\frac{1}{2}$x，
∵∠PNQ=∠BNH，∠PQN=∠BHN=90°，
∴△PQN∽△BHN，
∴$\frac{PQ}{BH}=\frac{QN}{NH}$，即$\frac{\frac{1}{2}x}{4}=\frac{x-5}{3}$，
解得：x=8，
∴PE=8．

点评 本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、垂径定理及相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键．