Question

12、已知p为质数，使二次方程x²-2px+p²-5p-1=0的两根都是整数，求出p的所有可能值．

Answer 1

分析：由于二次方程x²-2px+p²-5p-1=0的两根都是整数，所以其判别式为完全平方数，然后利用完全平方数的性质和整数的性质进行分析，也结合p为质数分析得出p=3或7，然后即可得到方程的形式，利用方程分析所求p值是否成立即可解决问题．

解答：解：∵已知的整系数二次方程有整数根，
∴△=4p²-4（p²-5p-1）=4（5p+1）为完全平方数，
从而，5p+1为完全平方数
设5p+1=n²，注意到p≥2，故n≥4，且n为整数
∴5p=（n+1）（n-1），
则n+1，n-1中至少有一个是5的倍数，即n=5k±1（k为正整数）
∴5p+1=25k²±10k+1，p=k（5k±2）
由p是质数，5k±1＞1，
∴k=1，p=3或7
当p=3时，已知方程变为x²-6x-7=0，解得x₁=-1，x₂=7；
当p=7时，已知方程变为x²-14x+13=0，解得x₁=1，x₂=13
所以p=3或p=7．

点评：此题主要考查了一元二次方程的判别式及方程的整数根的性质，比较难，对于学生分析问题，解决问题的能力要求比较高，是一个竞赛题，平时注意训练．