【题目】在Rt△ABC中,AB=1,∠A=60°,∠ABC=90°,如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF,则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为_____.(结果不取近似值)
【答案】π+.
【解析】先得到∠ACB=30°,BC=,利用旋转的性质可得到点B路径分部分:第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心,为半径,圆心角为150°的弧长;第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心,1为半径,圆心角为120°的弧长,第三部分为△ABC的面积;然后根据扇形的面积公式计算点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积.
∵Rt△ABC中,∠A=60°,∠ABC=90°,
∴∠ACB=30°,BC=,
将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF,点B路径分部分:第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心,为半径,圆心角为150°的弧长;第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心,1为半径,圆心角为120°的弧长;第三部分为△ABC的面积.
∴点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积
=.
故答案为.
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【题目】如图,将矩形ABCD(纸片)折叠,使点B与AD边上的点K重合,EG为折痕;点C与AD边上的点K重合,FH为折痕.已知∠1=67.5°,∠2=75°,EF=+1,求BC的长.
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【题目】△ABC中,∠BAC=60°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作菱形ADEF,使∠DAF=60°,连接CF.
(1)观察猜想:如图1,当点D在线段BC上时,①AB与CF的位置关系为: ;
②BC,CD,CF之间的数量关系为: .
(2)数学思考:如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.
(3)拓展延伸:如图3,当点D在线段BC的延长线上时,设AD与CF相交于点G,若已知AB=4,CD=AB,求AG的长.
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【题目】探究
(1)已知如图1,若AB∥CD,P为平行线内的一点请你判断∠B+∠P+∠D= 度,并说明理由.
(2)如图2,若AB∥CD ,P1、P2为平行线内的两个点,请求出∠B+∠P1+∠P2+∠D= 度(不需要说明理由)
(3)如图3,如此类推若AB∥CD,P1、、P2、P3、P4、……Pn为平行线内的n个点,请求出∠B+∠P1+∠P2+∠P3+…….+∠Pn-1+∠Pn+∠D= 度(不需要说明理由)
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【题目】已知,一次函数y=(1-3k)x+2k-1,试回答:
(1)k为何值时,y随x的增大而减小?
(2)k为何值时,图像与y轴交点在x轴上方?
(3) 若一次函数y=(1-3k)x+2k-1经过点(3,4).请求出一次函数的表达式.
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【题目】如图 1,已知线段 AB=12 cm,点 C 为线段 AB 上的一动点(点 C 不与 A,B 重合),点D,E 分别是 AC 和 BC 的中点.
(1)若点 C 恰好是 AB 的中点,则 DE= cm;
(2)若 AC=4 cm,求 DE的长;
(3)试说明当点C在线段 AB 上运动时,DE 的长不变;
(4)如图 2,已知∠AOB=120°,在∠AOB 的内部任画一条射线 OC.
①请分别画出∠AOC 和∠COB 的平分线 OD,OE(不要求尺规作图);
②说明∠DOE 的度数与射线 OC 的位置无关.
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【题目】城区某新建住宅小区计划购买并种植甲、乙两种树苗共300株.已知甲种树苗每株60元,乙种树苗每株90元.
(1)若购买树苗共用21000元,问甲、乙两种树苗应各买多少株?
(2)据统计,甲、乙两种树苗每株树苗对空气的净化指数分别为和,问如何购买甲、乙两种树苗才能保证该小区的空气净化指数之和等于90?
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【题目】我们知道:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地,我们定义:至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.
(1)请你写出一个等对边四边形的名称;
(2)如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,设CD、BE相交于点O,若∠A=50°,.请写出图中其余等于50°的角,并猜想图中哪个四边形为等对边四边形(不需证明);
(3)在中,如果∠A是不等于50°的锐角,点D、E分别在AB、AC上,且.探究:满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形,并证明你的结论.
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【题目】如图所示,将矩形ABCD沿对角线BD对折,使点C落在处,连接B交AD于点E,AB=4, BC=6.
求证: (1)AE=E; (2)△EBD面积.
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