Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过等腰Rt△OAB的A，B两点，点B在点A的右侧，直角顶点A（0，3）．

（1）求b，c的值．

（2）P是AB上方抛物线上的一点，作PQ⊥AB交OB于点Q，连接AP，是否存在点P，使四边形APQO是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当P（2，5）时，四边形APQO是平行四边形

【解析】

（1）根据题意得到点B的坐标，把A，B的坐标代入二次函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组可以求得它们的值；
（2）由条件可知OA∥PQ，则PQ=3时，OAPQ为平行四边形，设P（m，-m2+3m+3），Q（m，m），可得关于m的方程，求出m的值即可求解．

解：（1）∵A（0，3），等腰Rt△OAB，

∴AB＝3＝OA，

∴B（3，3），

将点A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：

，

∴，

（2）存在，

∵B（3，3），

∴OB的解析式为y＝x，

∵y＝﹣x2+3x+3，

设P（m，﹣m2+3m+3），Q（m，m），

∵PQ⊥AB，OA⊥AB，

∴OA∥PQ，

若四边形APQO是平行四边形，

∴PQ＝﹣m2+3m+3﹣m＝3，

解得m＝0（舍去），m＝2，

当m＝2时，y＝﹣4+6+3＝5，

∴p（2，5），

即当P（2，5）时，四边形APQO是平行四边形．

故答案为：（1）；（2）当P（2，5）时，四边形APQO是平行四边形．