Question

如图，AE是⊙O的直径，DF切⊙O于B，AD⊥DF于D，EF⊥DF于F，AD交⊙O于C．
（1）求证：EF+AD=AE；
（2）若EF=1，DF=4，求四边形ADEF的周长．

Answer 1

考点：切线的性质,梯形中位线定理

专题：

分析：（1）连接OB，根据DF切圆O于B，则OB⊥DF，又AD⊥DF于D，EF⊥DF于F，
得AD∥OB∥EF，可证明B是DF中点，则OB=

1

2

（EF+AD），即可得出EF+AD=2OB=AE；
 （2）连结BE、AB，则∠ABE=90°，可证明△ABD∽△BEF得

EF

BF

=

BD

AD

，由BD=BF=2，得出AD，从而得出四边形ADFE周长．

解答：解：（1）连接OB，∵DF切圆O于B，
∴OB⊥DF，
又∵AD⊥DF于D，EF⊥DF于F，
∴AD∥OB∥EF，
又∵O是AE中点，
∴B是DF中点，
∴OB=

1

2

（EF+AD），
∴EF+AD=2OB=AE； 
（2）连结BE、AB，则∠ABE=90°，
由△ABD∽△BEF得

EF

BF

=

BD

AD

，
∵EF=1，DF=4，
∴BD=BF=2，
∴

1

2

=

2

AD

，
则AD=4，
∴四边形ADFE周长=1+4+4+5=14．

点评：本题考查了切线的性质以及梯形的中位线定理，是基础知识要熟练掌握．