Question

18．已知抛物线y=ax²，点P、Q为抛物线对称轴上两点，且P、Q关于抛物线顶点对称，过Q点任意作一条直线与抛物线交于A、B两点，求证：抛物线对称轴平分∠APB．

Answer 1

分析 过点A作AM⊥y轴于M，过点B作BN⊥y轴于N，如图，设点A（x₁，y₁）、点B（x₂，y₂）、点Q（0，c），易得点P的坐标为（0，-c），设过点Q的直线为y=kx+c，则y₁=kx₁+c，y₂=kx₂+c，且x₁和x₂是ax²=kx+c即ax²-kx-c=0的两根，根据根与系数的关系可得x₁+x₂=$\frac{k}{a}$，x₁•x₂=-$\frac{c}{a}$，要证抛物线对称轴平分∠APB（即证∠NPB=∠APM），只需证tan∠NPB=tan∠APM即可．

解答 证明：过点A作AM⊥y轴于M，过点B作BN⊥y轴于N，如图．
设点A（x₁，y₁）、点B（x₂，y₂）、点Q（0，C），
则有AM=-x₁，BN=x₂．
设过点Q的直线为y=kx+c，
则y₁=kx₁+c，y₂=kx₂+c，
且x₁和x₂是ax²=kx+c即ax²-kx-c=0的两根，
∴x₁+x₂=-$\frac{-k}{a}$=$\frac{k}{a}$，x₁•x₂=-$\frac{c}{a}$
∵y=ax²的顶点为（0，0），P、Q关于抛物线顶点对称，
∴点P为（0，-c），
∴MP=y₁-（-c）=y₁+c=kx₁+c+c=kx₁+2c，
NP=y₂-（-c）=y₂+c=kx₂+c+c=kx₂+2c，
∴tan∠APM=$\frac{AM}{MP}$=$\frac{-{x}_{1}}{k{x}_{1}+2c}$，
tan∠NPB=$\frac{BN}{NP}$=$\frac{{x}_{2}}{k{x}_{2}+2c}$，
∴tan∠NPB-tan∠APM
=$\frac{{x}_{2}}{k{x}_{2}+2c}$-$\frac{-{x}_{1}}{k{x}_{1}+2c}$
=$\frac{{x}_{2}（k{x}_{1}+2c）+{x}_{1}（k{x}_{2}+2c）}{（k{x}_{2}+2c）（k{x}_{1}+2c）}$
=$\frac{2k{x}_{1}•{x}_{2}+2c（{x}_{1}+{x}_{2}）}{（k{x}_{1}+c）（k{x}_{2}+c）}$
=$\frac{2k•（-\frac{c}{a}）+2c•\frac{k}{a}}{（k{x}_{1}+c）（k{x}_{2}+c）}$
=0，
∴tan∠NPB=tan∠APM，
∴∠NPB=∠APM，
∴PQ平分∠APB，
∴该抛物线对称轴平分∠APB．

点评 本题主要考查了抛物线的性质、直线与抛物线的交点问题、三角函数、根与系数的关系等知识，是一道通过代数推理解决几何问题的好题，运用作差法证到tan∠NPB=tan∠APM是解决本题的关键．