Question

如图，⊙O的弦AB、CD交于点P，AB=CD．求证：OP平分∠BPD．

Answer 1

分析：连接OB、OD，过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，求出BM=DN，根据勾股定理求出OM=ON，根据角平分线性质求出即可．

解答：证明：
连接OB、OD，过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
则由垂径定理得：BM=

1

2

AB，DN=

1

2

CD，
∵AB=CD，
∴BM=DN，
由勾股定理得：OM²=OB²-BM²，ON²=OD²-DN²，
∵OB=OD，BM=DN，
∴OM=ON，
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴OP平分∠BPD．

点评：本题考查了垂径定理，勾股定理，角平分线性质的应用，注意：到角两边距离相等的点在角的平分线上．