【题目】如图,抛物线的图象与轴交于、两点(点在点的左边),与轴交于点,,点为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点为线段上一点(点不与点、重合),过点作轴的垂线,与直线交于点,与抛物线交于点,过点作交抛物线于点,过点作轴于点,可得矩形,如图1,点在点左边,当矩形的周长最大时,求的值,并求出此时的的面积;
(3)已知,点在抛物线上,连,直线,垂足为,若,求点的坐标.
【答案】(1)y=x22x+3(2)m=2,S△AEM=(3)(,)或(,).
【解析】
(1)根据抛物线y=ax2+2ax+c,可得C(0,c),对称轴为x1,再根据OC=OA,AB=4,可得A(3,0),最后代入抛物线y=ax2+2ax+3,得抛物线的解析式为y=x22x+3;
(2)根据点M(m,0),可得矩形PQNM中,P(m,m22m+3),Q(2m,m22m+3),再根据矩形PQNM的周长=2(PM+PQ)=2(m+2)2+10,可得当m=2时,矩形PQNM的周长有最大值10,M的坐标为(2,0),最后由直线AC为y=x+3,AM=1,求得E(2,1),ME=1,据此求得△AEM的面积;
(3)连接CB并延长,交直线HG与Q,根据已知条件证明BC=BF=BQ,再根据C(0,3),B(1,0),得出Q(2,3),根据H(0,1),求得QH的解析式为y=x1,联立得到方程组,可解得点G的坐标.
(1)由抛物线y=ax2+2ax+c,可得C(0,c),对称轴为x==1,
∵OC=OA,
∴A(c,0),B(2+c,0),
∵AB=4,
∴2+c(c)=4,
∴c=3,
∴A(3,0),
代入抛物线y=ax2+2ax+3,得
0=9a6a+3,
解得a=1,
∴抛物线的解析式为y=x22x+3;
(2)如图1,∵M(m,0),PM⊥x轴,
∴P(m,m22m+3),
又∵对称轴为x=1,PQ∥AB,
∴Q(2m,m22m+3),
又∵QN⊥x轴,
∴矩形PQNM的周长
=2(PM+PQ)
=2[(m22m+3)+(2mm)]
=2(m24m+1)
=2(m+2)2+10,
∴当m=2时,矩形PQNM的周长有最大值10,
此时,M(2,0),
设直线AC的解析式为y=kx+b
把A(3,0),C(0,3)代入得
解得
∴直线AC为y=x+3,又AM=1,
∴当x=2时,y=1,即E(2,1),ME=1,
∴△AEM的面积=×AM×ME=×1×1=;
(3)如图2,连接CB并延长,交直线HG与Q,
∵HG⊥CF,BC=BF,
∴∠BFC+∠BFQ=∠BCF+∠Q=90,∠BFC=∠BCF,
∴∠BFQ=∠Q,
∴BC=BF=BQ,
∴C,Q关于B点对称
又∵C(0,3),B(1,0),
∴Q(2,3),
又∵H(0,1)
设QH的解析式为y=px+q,
把Q(2,3),H(0,1)代入得
解得
∴QH的解析式为y=x1,
解方程组,可得或,
∴点G的坐标为(,)或(,).
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【题目】嘉善县将开展以“珍爱生命,铁拳护航”为主题的交通知识竞赛,某校对参加选拔赛的若干名同学的成绩按A,B,C,D四个等级进行统计,绘制成如下不完整的频数统计表和扇形统计图
成绩等级 | 频数(人数) | 频率 |
A | 4 | 0.08 |
B | m | 0.52 |
C | n | |
D | ||
合计 | 1 |
(1)求m= ,n= ;
(2)在扇形统计图中,求“C等级”所对应圆心角的度数;
(3)“A等级”的4名同学中有3名男生和1名女生,现从中随机挑选2名同学代表学校参加全县比赛,请用树状图法或列表法求出恰好选中“一男一女”的概率.
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【题目】(1)如图1,点为线段外一动点,且,,填空:当点位于__________时,线段的长取到最大值__________,且最大值为;(用含、的式子表示).
(2)如图2,若点为线段外一动点,且,,分别以,为边,作等边和等边,连接,.
①图中与线段相等的线段是线段__________,并说明理由;
②直接写出线段长的最大值为__________.
(3)如图3,在平面直角坐标系中,点的坐标为,点的坐标为,点为线段外一动点,且,,,请直接写出线段长的最大值为__________,及此时点的坐标为__________.(提示:等腰直角三角形的三边长、、满足)
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【题目】如图所示,网格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形,我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”,图中的是格点三角形.在建立平面直角坐标系后,点的坐标为.
(1)把向下平移5格后得到,写出点,,的坐标,并画出;
(2)把绕点按顺时针方向旋转后得到,写出点,,的坐标,并画出;
(3)把以点为位似中心放大得到,使放大前后对应线段的比为,写出点,,的坐标,并画出.
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【题目】如图,有长为的篱笆,现一面利用墙(墙的最大可用长度为)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽为,面积为.
(1)求与的函数关系式及自变量的取值范围;
(2)要围成面积为的花圃,的长是多少米?
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠A=2∠BCD,点E在AB的延长线上,∠AED=∠ABC
(1)求证:DE与⊙O相切;
(2)若BF=2,DF=,求⊙O的半径.
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【题目】如图,直线L:y=x+1交y轴于点A1,在x轴正方向上取点B1,使OB1=OA1;过点B1作A2B1⊥x轴,交L于点A2,在x轴正方向上取点B2,使B1B2=B1A2;过点B2作A3B2⊥x轴,交L于点A3,在x轴正方向上取点B3,使B2B3=B2A3;…记△OA1B1面积为S1,△B1A2B2面积为S2,△B2A3B3面积为S3,…则S2019等于_____.
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【题目】在创客教育理念的指引下,国内很多学校都纷纷建立创客实践室及创客空间,致力于从小培养孩子的创新精神和创造能力,某校开设了“3D”打印、数学编程、智能机器人、陶艺制作“四门创客课程记为A、B、C、D,为了解学生对这四门创客课程的喜爱情况,数学兴趣小组对全校学生进行了随机问卷调查,将调查结果整理后绘制成两幅均不完整的统计图表:
创客课程 | 频数 | 频率 |
“3D”打印 | 36 | 0.45 |
数学编程 | 0.25 | |
智能机器人 | 16 | b |
陶艺制作 | 8 | |
合计 | a | 1 |
请根据图表中提供的信息回答下列问题:
(1)统计表中的a=______,b=______;
(2)“陶艺制作”对应扇形的圆心角为______;
(3)根据调查结果,请你估计该校300名学生中最喜欢“智能机器人”创客课程的人数;
(4)学校为开设这四门课程,预计每生A、B、C、D四科投资比为4:3:6:7,若“3D打印课程每人投资200元,求学校为开设创客课程,需为学生人均投入多少钱?
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【题目】某校为美化校园,计划对面积为1800m2的区域进行绿化,安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍,并且在独立完成面积为400 m2区域的绿化时,甲队比乙队少用4天.
(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2?
(2)若学校每天需付给甲队的绿化费用是0.4万元,乙队为0.25万元,要使这次的绿化总费用不超过8万元,至少应安排甲队工作多少天?
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