Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E．
（1）求证：ED为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，ED=4，EO的延长线交⊙O于F，连DF、AF，求△ADF的面积．

Answer 1

（1）证明：连接OD，CD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠CDA=90°=∠BDC，
∵OE∥AB，CO=AO，
∴BE=CE，
∴DE=CE，
∵在△ECO和△EDO中
，
∴△ECO≌△EDO，
∴∠EDO=∠ACB=90°，
即OD⊥DE，OD过圆心O，
∴ED为⊙O的切线．

（2）解：过O作OM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，
则OM∥FN，∠OMN=90°，
∵OE∥AB，
∴四边形OMFN是矩形，
∴FN=OM，
∵DE=4，OC=3，由勾股定理得：OE=5，
∴AC=2OC=6，
∵OE∥AB，
∴△OEC∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴AB=10，
在Rt△BCA中，由勾股定理得：BC==8，

sin∠BAC===，
即=，
OM==FN，
∵cos∠BAC===，
∴AM=
由垂径定理得：AD=2AM=，
即△ADF的面积是AD×FN=××=．
答：△ADF的面积是．
分析：（1）连接OD，CD，求出∠BDC=90°，根据OE∥AB和OA=OC求出BE=CE，推出DE=CE，根据SSS证△ECO≌△EDO，推出∠EDO=∠ACB=90°即可；
（2）过O作OM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，求出OM=FN，求出BC、AC、AB的值，根据sin∠BAC===，求出OM，根据cos∠BAC===，求出AM，根据垂径定理求出AD，代入三角形的面积公式求出即可．
点评：本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，三角形的面积，垂径定理，直角三角形的斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，本题综合性比较强，有一定的难度．