Question

已知：如图，直径为OA的⊙M与x轴交于点O、A，点B、C把弧 CA分为三等份，连接MC并延长交y轴于点D（0，3）
（1）求证：△OMD≌△BAO；
（2）若直线y=kx+b把⊙M的周长和△OMD面积均分为相等的两部分，求该直线的解析式．

Answer 1

（1）证明：连接BM，
∵B、C把弧OA三等分，∴∠1=∠5=60°，
∵OM=BM，
∴∠2=∠5=30°，
∵OA为圆M的直径，
∴∠ABO=90°，
∴AB=OA=OM，∠3=60°，
∴∠1=∠3，∠DOM=∠ABO=90°，
在△OMD和△BAO中，，
∴△OMD≌△BAO．

（2）若直线把圆M的面积分为二等份，
则直线必过圆心M，
∵D（0，3），∠1=60°，OD=3，
tan60°=，
=
∴OM==，
∴M（，0），
把M（，0）代入y=kx+b，
又∵直线平分面积，必过点（0，1.5）代入得：，
解得：k=-，b=1.5，
∴直线为y=-x+．
分析：（1）连接BM，根据三等份，求出∠1、∠5、∠3、∠2的度数，推出∠1=∠3，根据直径求出∠OBA=∠DOM=90°，根据AAS求出全等即可；
（2）根据面积二等份，推出直线过M和（0，1.5）点，求出OM，得出M的坐标，代入解析式求出即可．
点评：本题综合考查了用待定系数法求一次函数的解析式，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，解二元一次方程组，三角形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和运用，此题综合性比较强，难度适中，主要培养学生分析问题和解决问题的能力．