Question

12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点P是$\widehat{AB}$的中点，连接PA，PB，PC．
（1）如图①，若∠BPC=60°，求证：AC=$\sqrt{3}$AP；
（2）如图②，sin∠BPC=$\frac{24}{25}$，射线AO分别交PC、BC于E、F．
①求证：∠FOC=∠BAC；
②直接写出tan∠PAB的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件易证△ABC为等边三角形，所以∠ACB=60°，因为点P是弧AB的中点，所以∠ACP=30°，进而证明AC=$\sqrt{3}$AP；
（2）①由等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠CAF，由圆周角定理可得∠FOC=2∠CAF，进而可证明∠FOC=∠BAC；
②过点E作EG⊥AC于G，连接OC，设FC=24a，则OC=OA=25a，因为OF=7a，AF=32a．在Rt△AFC中，AC²=AF²+FC²，所以AC=40a，进而可求出tan∠PAB的值．

解答 （1）证明：∵弧BC=弧BC，
∴∠BAC=∠BPC=60°．
又∵AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵点P是弧AB的中点，
∴∠ACP=∠BCP=30°，
∴∠PAB=30°，
∴∠PAC=90°，
又∠APC=∠ABC=60°，
∴AC=$\sqrt{3}$AP．

（2）证明：①∵AB=AC，
∴AF⊥BC，
∴∠BAF=∠CAF，
∴∠BAC=2∠CAF
∵∠FOC=2∠CAF，
∴∠FOC=∠BAC；
②过点E作EG⊥AC于G，连接OC．
∵AB=AC，
∴AF⊥BC，BF=CF．
∵点P是弧AB中点，
∴∠ACP=∠PCB，∴EG=EF．
∵∠BPC=∠FOC，
∴sin∠FOC=sin∠BPC=$\frac{24}{25}$．
设FC=24a，则OC=OA=25a，
∴OF=7a，AF=32a．
在Rt△AFC中，AC²=AF²+FC²，∴AC=40a．
在Rt△AGE和Rt△AFC中，sin∠FAC=$\frac{EG}{AE}=\frac{FC}{AC}$，
∴$\frac{EG}{32a-EG}=\frac{24a}{40a}$，
∴EG=12a．
∴tan∠PAB=tan∠PCB=$\frac{EF}{CF}=\frac{12a}{24a}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了和圆有关的综合题，用的知识点有等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、圆周角定理、勾股定理以及锐角三角函数的定义，题目的综合性较强，难度中等，对学生的综合解题能力要求很高，是一道不错的中考题．