Question

1．抛物线y=a（x-2）²+3（a＞0），直线y=m交抛物线于A、B两点，M为顶点，△ABM为直角三角形，求AB的长．

Answer 1

分析 将y=m代入二次函数解析式中求出x的值，由此即可得出点A、B的坐标，由二次的性质结合△ABM为直角三角形即可得出△ABM为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得出$\sqrt{\frac{m-3}{a}}$=m-3，解之即可得出m=$\frac{1}{a}$+3，再由AB=2（m-3）即可求出AB的长．

解答 解：将y=m代入y=a（x-2）²+3中，得a（x-2）²+3=m，
解得：x₁=2-$\sqrt{\frac{m-3}{a}}$，x₂=2+$\sqrt{\frac{m-3}{a}}$，
∴A（2-$\sqrt{\frac{m-3}{a}}$，m），B（2+$\sqrt{\frac{m-3}{a}}$，m）．
由二次函数图象的对称性可知AM=BM，
∴△ABM为等腰三角形，
∵△ABM为直角三角形，
∴△ABM为等腰直角三角形，
∴$\sqrt{\frac{m-3}{a}}$=m-3，
∴m=$\frac{1}{a}$+3，
∴AB=2$\sqrt{\frac{m-3}{a}}$=2（m-3）=$\frac{2}{a}$．

点评 本题考查了二次函数的性质、解一元二次方程已经等腰直角三角形的判定与性质，根据二次函数的性质找出△ABM为等腰直角三角形是解题的关键．