Question

14．在△ABC中，AB=15，AC=20，高AD=12，AH平分∠BAC与BC交于点H，则AH的长为$\frac{60\sqrt{2}}{7}$或12$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，利用勾股定理求出BD、CD，再根据角平分线得到性质得到$\frac{BH}{CH}$，再根据勾股定理求出AH的长．

解答 解：如图1，在Rt△ABD中，
BD=$\sqrt{{15}^{2}-{12}^{2}}$=9，
在Rt△ACD中，
CD=$\sqrt{{20}^{2}-{12}^{2}}$=16，
∴BC=9+16=25，
∵AH平分∠BAC与BC交于点H，
∴$\frac{BH}{CH}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{BH}{CH}$=$\frac{15}{20}$=$\frac{3}{4}$，
∴BH=$\frac{3}{7}$BC=$\frac{3}{7}$×25=$\frac{75}{7}$；
∴DH=BH-BD=$\frac{75}{7}$-9=$\frac{12}{7}$，
∴AH=$\sqrt{{12}^{2}+（\frac{12}{7}）^{2}}$=$\frac{60\sqrt{2}}{7}$．
如图2，在Rt△ABD中，
BD=$\sqrt{{15}^{2}-{12}^{2}}$=9，
在Rt△ACD中，
CD=$\sqrt{{20}^{2}-{12}^{2}}$=16，
∴BC=16-9=7，
∵AH平分∠BAC与BC交于点H，
∴$\frac{BH}{CH}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{BH}{CH}$=$\frac{15}{20}$=$\frac{3}{4}$，
∴BH=$\frac{3}{7}$BC=$\frac{3}{7}$×7=3，
∴DH=BH+BD=3+9=12，
∴AH=$\sqrt{{12}^{2}+{12}^{2}}$=12$\sqrt{2}$．
故答案为$\frac{60\sqrt{2}}{7}$或12$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了勾股定理、角平分线的性质，通过勾股定理求出相应线段的长，再进行计算是关键．