Question

2．已知抛物线y=-x²+bx+c过点A（4，0）、B（1，3），顶点为C．
（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P（m，n）在第四象限，点P关于直线l的对称点为点E，点E关于x轴的对称轴为点F，若四边形OFAP的面积为20，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A点和B点坐标代入y=-x²+bx+c中得到关于b、c的方程组，再解方程组求出b、c，从而得到抛物线解析式，然后把解析式配成顶点式即可得到抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）作BD⊥x轴于D，对称轴交x轴于E，如图，则C（2，4），根据三角形面积公式和利用S_△ABC=S_梯形BDEC+S_△ACE-S_△BDA进行计算即可．
（3）关键题意确定P和F到OA的距离为-n，然后根据四边形OFAP的面积=△AOF的面积+△AOP的面积列出等式，解方程即可求得．

解答 解：（1）把A（4，0），B（1，3）代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-16+4b+c=0}\\{-1+b+c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=0}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=-x²+4x，
因为y=-x²+4x=-（x-2）²+4，所以抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，4），
（2）作BD⊥x轴于D，对称轴交x轴于E，如图，C（2，4），
S_△ABC=S_梯形BDEC+S_△ACE-S_△BDA
=$\frac{1}{2}$（3+4）×1+$\frac{1}{2}$×4×2-$\frac{1}{2}$×3×3
=3．
（3）∵点P（m，n）在第四象限，对称轴x=2，
∴点P关于直线l的对称点为点E（4-m，n），
∴点E关于x轴的对称轴为点F（4-m，-n），
∴P点和F点到x轴的距离为-n，
∴四边形OFAP的面积=2×$\frac{1}{2}$×4×（-n），
∵四边形OFAP的面积为20，
∴-4n=20，
∴n=-5，
∴P（m，-5），
代入y=-x²+4x得，-5=-m²+4m，
解得m₁=5，m₂=-1（舍去），
∴P（5，-5）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．本题的关键是利用面积的和差计算△ABC的面积．