Question

4．如图，AB是⊙O的直径，点D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．   
（1）求证：PQ是⊙O切线；
（2）若⊙O半径为2，TC=$\sqrt{3}$．①求AD；②求阴影部分面积．

Answer 1

分析 （1）要证明PQ是⊙O的切线只要证明OT⊥PQ即可；
（2）①作OM⊥AD于M，得到矩形OMCT，求出OM，根据勾股定理求得AM，进而求得AD=2，；
②得出等边三角形AOD，求出∠AOD，求出∠DOT，求出∠DTC=∠CAT=30°，求出DC，求出梯形OTCD的面积和扇形OTD的面积．相减即可求出答案．

解答 （1）证明：连接OT；
∵OT=OA，
∴∠ATO=∠OAT，
又∵∠TAC=∠BAT，
∴∠ATO=∠TAC，
∴OT∥AC；
∵AC⊥PQ，
∴OT⊥PQ，
∴PQ是⊙O的切线．

（2）解：①过点O作OM⊥AC于M，则AM=MD；
又∵∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四边形OTCM为矩形，
∴OM=TC=$\sqrt{3}$，
∴在Rt△AOM中，AM=$\sqrt{O{A}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{4-3}$=1，
∴AD=2AM=2．
∵OA=OD=2；
②∵OA=OD=AD=2，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=∠OAD=60°，
∵OT∥AC，
∴∠AOT=120°，
∴∠TOD=120°-60°=60°，
∵OT=OD，
∴△PDT是等边三角形，
∴∠OTD=60°
∵PC切⊙O于T，
∴∠DTC=30°，
∴tan30°=$\frac{DC}{TC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴DC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$=1，
∴阴影部分的面积是S_梯形OTCD-S_扇形OTD=$\frac{1}{2}$×（2+1）×$\sqrt{3}$-$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{9\sqrt{3}-4π}{6}$．

点评 本题考查了切线的性质和判定，解直角三角形，矩形的性质和判定，勾股定理，扇形的面积，梯形的性质等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，有一定的难度．