Question

5．已知直线y=-x-2与抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+4相交于A、B两点，点C是抛物线与y轴的交点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在AB段的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据解方程组，可得图象的交点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离较大的纵坐标间较小的纵坐标，可得PE的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得n的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

解答 解：（1）如图1，
由题意，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-2}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{1}{2}x+4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=6}\\{{y}_{1}=-8}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-4}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
即A（6，-8）B（-4，2），
y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+4当x=0时，y=4，
点C是抛物线与y轴的交点（0，4）；
（2）如图1，
设AB的解析式为y=kx+b，将A，B代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-8=6k+b}\\{2=-4k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
AB的解析式为y=-x-2，当x=0时，y=-2，即D（0，-2），
CD的长是4-（-2）=6，
S_△ABC=S_△BCD+S_△ACD=$\frac{1}{2}$CD•|x_B|+$\frac{1}{2}$CD•|x_A|=$\frac{1}{2}$CD（x_A-x_B）=$\frac{1}{2}$×6×（6+4）=30；
（3）在AB段的抛物线上存在一点P，使得△ABP的面积最大，
如图2，作PE垂直于x轴交AB于E点，
设P点坐标为（n，-$\frac{1}{4}$n²-$\frac{1}{2}$n+4），E点坐标为（n，-n-2），
PE的长为-$\frac{1}{4}$n²-$\frac{1}{2}$n+4-（-n-2）=-$\frac{1}{4}$n²+$\frac{1}{2}$n+6，
S_△PAB=S_△BEP+S_△AEP=$\frac{1}{2}$PE（x_A-x_B）=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{4}$n²+$\frac{1}{2}$n+6）×（6+4）=-$\frac{5}{4}$n²+$\frac{5}{2}$n+30=-$\frac{5}{4}$（n-1）²+30+$\frac{5}{4}$，
当n=1时，S_△PAB最大=$\frac{125}{4}$，
n=1时，-$\frac{1}{4}$n²+$\frac{1}{2}$n+6=$\frac{25}{4}$，
即P点坐标为（1，$\frac{25}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是解方程组；解（2）的关键是利用面积的和差得出$\frac{1}{2}$CD（x_A-x_B）；解（3）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质．