Question

【题目】如图，⊙O的直径AB＝6，C为圆周上的一点，BC＝3．过C点作⊙O的切线GE，作AD⊥GE于点D，交⊙O于点F．

（1）求证：∠ACG＝∠B．

（2）计算线段AF的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）3．

【解析】

（1）连接OC，BF．根据切线的性质得到OC⊥GE，即∠ACG+∠OCA＝90°，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB＝90°，则∠B+∠CAB＝90°，而∠BAC＝∠OCA，得到∠B＝∠ACG．

（2）Rt△ACB中，AB＝6，BC＝3，得到∠CAB＝30°，而∠B＝∠ACG＝60°，AD⊥GE，则∠CAD＝30°，则∠DAB＝∠CAD+∠CAB＝60°，根据直径所对的圆周角为直角得到∠AFB＝90°，所以AF＝AB＝3．

（1）证明：连接OC，BF．

∵GE是过点C的⊙O的切线，

∴OC⊥GE，即∠ACG+∠OCA＝90°．

∵AB是⊙O的直径，AO＝OC，

∴∠ACB＝90°，∠BAC＝∠OCA．

∵∠B+∠CAB＝90°，

∴∠B＝∠ACG；

（2）解：∵Rt△ACB中，AB＝6，BC＝3，

∴∠CAB＝30°．

∵∠B＝∠ACG＝60°，AD⊥GE，

∴∠CAD＝30°．

∴∠DAB＝∠CAD+∠CAB＝60°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AFB＝90°，

∵AB＝6，

∴AF＝AB＝3．