Question

（2012•黄冈模拟）某公司生产一种健身自行车在市场上受到普遍欢迎，在国内市场和国外市场畅销，生产的产品可以全部出售，该公司的年生产能力为10万辆，在国内市场每辆的利润y₁（元）与其销量x（万辆）的关系如图所示；在国外市场每辆的利润y₂（元）与其销量x（万辆）的关系为：y₂=

-30x+320(0≤x≤6) 180(6≤x≤10)

．
（1）求国内市场的销售总利润z₁（万元）与其销量x（万辆）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
（2）求国外市场的销售总利润z₂（万元）与国内市场的销量x（万辆）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
（3）求该公司每年的总利润w（万元）与国内市场的销量x（万辆）之间的函数关系式？并帮助该公司确定国内、国外市场的销量各为多少万辆时，该公司的年利润最大？

Answer 1

分析：（1）由图象可知：此函数为分段函数，当0≤x≤4时，图象为平行于x轴的线段；当4≤x≤10时，图象为一次函数的一段，设此时解析式为y=kx+b（k≠0），将（4，400）和（10，160）代入求出k与b的值，综上确定出y₁与其销量x的关系式，根据总利润=每辆的利润×销量，即可列出z₁与其销量x的函数解析式；
（2）根据国外市场每辆的利润y₂与其销量x的关系，利用总利润=每辆的利润×销量，即可列出z₂与其销量x的函数解析式；
（3）根据总利润=国内的利润+国外的利润，即w=z₁+z₂，列出w关于x的关系式，利用一次函数的性质及二次函数的性质分别求出x不同取值范围时函数的最大值，比较大小即可得到公司年利润最大时国内的销量与国外市场销量．

解答：解：（1）由图知：y₁=

400(0≤x≤4) 560-40x(4≤x≤10)

，
则z₁=xy₁=

400x(0≤x≤4) 560x-40x2(4≤x≤10)

；
（2）该公司的年生产能力为10万辆，若在国内市场销售x万辆，则在国外市场销售（10-x）万辆，
则z₂=xy₂=（10-x）y₂=

(10-x)[-30(10-x)+320](0≤10-x≤6) 180(10-x)(6≤10-x≤10)

=

-30(10-x)2+320(10-x)(0≤10-x≤6) 180(10-x)(6≤10-x≤10)

=

-30x2+280x+200(4≤x≤10) -180x+1800(0≤x≤4)

；
（3）设该公司每年的总利润为w（万元），则
w=z₁+z₂=

220x+1800(0≤x≤4) -70x2+840x+200(4≤x≤10)

=

220x+1800(0≤x≤4) -70(x-6)2+2720(4≤x≤10)

，
当0≤x≤4时，w随x的增大而增大，当x=4时，w取最大值，此时w=2680，
当4≤x≤10时，当x=6时，w取最大值，此时w=2720，
所以综合得：当x=6时，w的最大值为2720，
此时，国内的销量为6万辆，国外市场销量为4万辆，年利润最大为2720万元．

点评：此题考查了二次函数的应用，涉及的知识有：一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，分段函数，以及待定系数法确定函数解析式，是一道综合性较强的应用题．