练习册

练习册
试题

已知，如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C的坐标分别为A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒．
（1）求过点O、B、A三点的抛物线的解析式；
（2）求AB的长；若动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（3）动点P从A出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分？求出此时P点的坐标．

解：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）
依题意，得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
故所求抛物线的解析式为y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x；

（2）作BE⊥OA与E，OE=BC=4，
∵在Rt△ABE中，AE=OA-OE=6，BE=OC=8，
∴AB= $\text{[math]}$ =10．
解法一：作OF⊥AB于F，DH⊥AB于H，
∵OA•BE=AB•OF，
∴OF= $\text{[math]}$ =8，DH= $\text{[math]}$ OF=4，
∴S= $\text{[math]}$ AP•DH= $\text{[math]}$ t×4=2t（0≤t≤10）；
解法二：∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，S_△ABD= $\text{[math]}$ AD•BE= $\text{[math]}$ ×5×8=20．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴S=2t（0≤t≤10）；

（3）点P只能在AB或OC上才能满足题意，
S_梯形COAB= $\text{[math]}$ （BC+OA）•OC= $\text{[math]}$ ×（4+10）×8=56，
（ⅰ）当点P在AB上时，设点P的坐标为（x，y），
由S_△APD= $\text{[math]}$ S_梯形COAB，
得 $\text{[math]}$ OD•y= $\text{[math]}$ ×56，解得y= $\text{[math]}$ ，
由S_△APD= $\text{[math]}$ AP•DH= $\text{[math]}$ t×4=14，得t=7．
此时，作BG⊥OA于G，由勾股定理得（AO-x）²+y²=AP²，即（10-x）²+（ $\text{[math]}$ ）²=7²，
解得x= $\text{[math]}$ ，即在7秒时有点P₁（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）满足题意；
（ⅱ）当点P在OC上时，设点P的坐标为（0，y）．
由S_△APD= $\text{[math]}$ S_梯形COAB，得 $\text{[math]}$ AD•y= $\text{[math]}$ ×56，解得y= $\text{[math]}$ ，
此时t=10+4+（8- $\text{[math]}$ ）=16 $\text{[math]}$ ．即在t=16 $\text{[math]}$ 秒时，有点P₂（0， $\text{[math]}$ ）满足题意；
综上，在7秒时有点P₁（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），在16 $\text{[math]}$ 秒时有点P₂（0， $\text{[math]}$ ）使PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分．
分析：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），把A（10，0）、B（4，8）、C（0，8）三点代入即可求出a、b、c的值，进而得出该抛物线的解析式；
（2）作BE⊥OA与E，OE=BC=4，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AB的长，作OF⊥AB于F，DH⊥AB于H，
由OA•BE=AB•OF可求出OF及DH的长，进而可得出结论；
（3）先求出COAB的面积，由于点P的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：（i）当点P在AB上时，设点P的坐标为（x，y），由S_△APD= $\text{[math]}$ S_梯形COAB，得 $\text{[math]}$ OD•y= $\text{[math]}$ ×56故可求出y的值，由S_△APD= $\text{[math]}$ AP•DH= $\text{[math]}$ t×4=14求出t的值，作BG⊥OA于G，由勾股定理即可得出x的值，进而得出结论；
（ii）当点P在OC上时，设点P的坐标为（0，y）．由S_△APD= $\text{[math]}$ S_梯形COAB，得 $\text{[math]}$ AD•y= $\text{[math]}$ ×56故可求出y的值，此时t=10+4+（8- $\text{[math]}$ ）=16 $\text{[math]}$ ，由此可得出点P₂的坐标．
点评：本题考查的是二次函数综合题，此题涉及到用待定系数法求二次函数的解析式、梯形的面积公式及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，构造出三角形及梯形的高是解答此题的关键．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源：2011年河南省周口市初一下学期相交线与平行线专项训练 题型：解答题

如图，以Rt△ABO的直角顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=4，OB=3，一动点P从O出发沿OA方向，以每秒1个

单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从A点出发

沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．当Q到达B时，P、Q两点同时停止

运动,设P、Q运动的时间为t秒(t＞0)．

(1) 试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；

(2) 在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①．

求出此时△APQ的面积．

(3) 在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯

形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

(4) 伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB－BO－OP于点F．当DF经过原点O时，请直接写出t的值．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源：2011年河南省周口市初一下学期平移专项训练 题型：解答题