Question

【题目】已知矩形OABC的边长OA=4，AB=3，E是OA的中点，分别以OA、OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线l经过C、E两点．

（1）求直线l的函数表达式；

（2）如图2，在长方形OABC中，过点E作EG⊥EC交AB于点G，连接CG，将△COE沿直线l折叠后得到△CEF，点F恰好落在CG上．证明：GF=GA．

（3）在（2）的条件下求四边形AGFE的面积．

Answer 1

【答案】（1）y=x+3；（2）见解析，（3）AGFE的面积是.

【解析】

（1）根据矩形的性质及中点的定义得出OC=AB=3，OE=2，进而得出E，C两点的坐标，再用待定系数法即可求得直线l的函数表达式；
（2）根据矩形的四个角都是直角得∠COA=∠OAB=90°；根据折叠的性质得到∠COE=∠CFE=90°，OE=EF，进而得到∠EFG=∠EAG=90°；根据中点的定义得OE=AE，根据等量代换得出EF=EA，然后利用HL判断出Rt△EFG≌Rt△EAG，根据全等三角形对应边相等得出GF=GA；
（3）根据折叠的性质知OC=CF=3．根据线段的和差得出BG=AB-AG=3-AG，CG=CF+GF=3+GA，AE=2，在Rt△CBG中，由勾股定理得出关于AG的方程，求解得出AG的长，根据全等三角形的面积相等得出SRt△EFG=SRt△EAG，然后根据S四边形AGFE=2SRt△EAG即可得出答案．

解：（1）∵矩形OABC的边长OA=4，AB=3，E是OA的中点，

∴OC=AB=3，OE=2，

∴E（2，0），C（0，3）．

设直线l的解析式y=kx+b（k≠0）．

将E（2，0），C（0，3），分别代入y=kx+b得

，解得，

∴直线l的解析式y=x+3；

（2）∵四边形OABC是矩形，

∴∠COA=∠OAB=90°．

又根据折叠是性质得到∠COE=∠CFE=90°，OE=EF，

∴∠EFG=∠EAG=90°．

又∵E是OA的中点，

∴OE=AE，

∴EF=EA，

∴在Rt△EFG和Rt△EAG中，

，

∴Rt△EFG≌Rt△EAG（HL），

∴GF=GA；

（3）由（2）知，GF=GA，根据折叠的性质知OC=CF=3．

∵BG=AB–AG=3–AG，CG=CF+GF=3+GA，AE=2，

∴在Rt△CBG中，由勾股定理得：

CG2=BC2+BG2，即（3+AG）2=（3–AG）2+42，解得AG=．

∵由（2）知，Rt△EFG≌Rt△EAG，

∴SRt△EFG=SRt△EAG，

∴S四边形AGFE=2SRt△EAG=2×AE·AG=2××2×=，即四边形AGFE的面积是．