分析 先求出A(0,c),再根据等腰直角三角形的性质得OA=OB=OC=c,由三角形面积公式得$\frac{1}{2}$•c•2c=4,解得c=2,把C(2,0)代入y=ax2+2求出a的值;利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+2,设F(t,t+2),利用抛物线平移的规律可设平移后的抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$(x-t)2+t+2,再把C(2,0)代入解得t=6,则平移后的抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$(x-6)2+8,所以F(6,8),根据抛物线与x轴的交点问题确定E(10,0),则OE=10,然后分两种情况讨论:当点Q在射线HF上,如图1,利用三角形全等的判定方法,当EQ=EO=10时,△EQP≌△EOP,则可根据勾股定理计算出QH=2$\sqrt{21}$,于是可得Q点坐标为(6,2$\sqrt{21}$);当点Q在射线AF上,设Q(x,x+2),利用两点间的距离公式得到(x-10)2+(x+2)2=102,解方程求出m的值即可得到Q点坐标.
解答 解:∵抛物线y=ax2+c(a≠0)与y轴交于点A,
∴A(0,c),则OA=c,
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴OA=OB=OC=c,
∴$\frac{1}{2}$•c•2c=4,解得c=2,
∴C(2,0),
把C(2,0)代入y=ax2+2得4a+2=0,解得a=-$\frac{1}{2}$;
∴y=-$\frac{1}{2}$x2+2,
设直线AB的解析式为y=kx+b,
把A(0,2)、B(-2,0)代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$,
则直线AB的解析式为y=x+2,
设F(t,t+2),
∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+2沿BA方向平移,平移后的抛物线过点C时,顶点为F,
∴平移后的抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$(x-t)2+t+2,
把C(2,0)代入得-$\frac{1}{2}$(2-t)2+t+2=0,解得t=6,
∴平移后的抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$(x-6)2+8,
令y=0,-$\frac{1}{2}$(x-6)2+8=0,解得x1=2,x2=10,
∴OE=10,
①当点Q在射线HF上,
当点P在x轴上方时,如图1,
∵∠EQP=90°,EP=EP,
∴当EQ=EO=10时,△EQP≌△EOP,
∵HE=10-6=4,
∴QH=$\sqrt{1{0}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{21}$,
此时Q点坐标为(6,2$\sqrt{21}$);
当点P在x轴下方时,如图2,有PQ=OE=10,过P点作PK⊥HF于点K,则有PK=6,
在Rt△PQK中,QK=$\sqrt{P{Q}^{2}-P{K}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8,
∵∠PQE=90°,
∴∠PQK+HQE=90°,
∵∠PKQ=∠QHE=90°,
∴△PKQ∽△QHE,
∴$\frac{PK}{QH}$=$\frac{QK}{HE}$,
∴$\frac{6}{QH}$=$\frac{8}{4}$,解得QH=3,
∴Q(6,3).
②点Q在射线AF上,
当PQ=OE=10时,如图3,有QE=PO,
∴四边形POEQ为矩形,
∴Q的横坐标为10,
当x=10时,y=x+2=12,∴Q(10,12).
当QE=OE=10时,如图4,
过Q作QM⊥y轴于点M,过E点作x轴的垂线交QM于点N.
设Q的坐标为为(x,x+2),∴MQ=x,QN=10-x,EN=x+2,
在Rt△QEN中,有QE2=QN2+EN2,即102=(10-x)2+(x+2)2,解得x=4±$\sqrt{14}$,
当x=4+$\sqrt{14}$时,y=x+2=6+$\sqrt{14}$,∴Q(4+$\sqrt{14}$,6+$\sqrt{14}$),
当x=4-$\sqrt{14}$时,y=x+2=6-$\sqrt{14}$,∴Q(4-$\sqrt{14}$,6-$\sqrt{14}$),
综上所述,Q点的坐标为(6,2$\sqrt{21}$)或(6,3)或(10,12)或(4+$\sqrt{14}$,6+$\sqrt{14}$)或(4-$\sqrt{14}$,6-$\sqrt{14}$),使P,Q,E三点为顶点的三角形与△POE全等.
点评 本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数的性质、二次函数平移的规律和三角形全等的判定与性质;会利用待定系数法求函数解析式;记住两点间的距离公式.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{1}{8}$ | C. | -$\frac{1}{8}$ | D. | -$\frac{3}{8}$ |
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | -3 | B. | 3 | C. | 4 | D. | 5 |
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com