Question

6．如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别交于点E、F．

（1）判断$\frac{AE}{EC}$与$\frac{BF}{FC}$是否相等，请说明理由．
（2）如图2，连结EF，若AE：EC=1：2，且△CEF的面积为4．
①求反比例函数的解析式；
②如图3，P点坐标为（2，-2），在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上是否存在点M、N（M在N的左侧），使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设OB=a，OA=b，用a、b表示出点E、F的坐标，再找出AE、EC、BF、CF，由此即可得出结论；
（2）①根据AE：EC=1：2，结合（1）结论以及所设未知数，可得出CE、CF的长，再结合△CEF的面积为4，即可求出ab值，从而可得出S_△AOE的值，结合反比例函数系数k的几何意义即可得出结论；
②假设存在，分OP为边和OP为对角线来考虑．当OP为边时，设出点M的坐标，根据平行四边形的性质找出点N的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出点M的坐标；当OP为对角线时，设出点M、N的坐标，根据平行四边形的性质--对角线互相平分可求出点M的坐标．综上即可得出结论．

解答 解：（1）相等．理由如下：
设OB=a，OA=b，则E（$\frac{k}{b}$，b），F（a，$\frac{k}{a}$），
∴AE=$\frac{k}{b}$，EC=a-$\frac{k}{b}$，BF=$\frac{k}{a}$，CF=b-$\frac{k}{a}$，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{\frac{k}{b}}{a-\frac{k}{b}}=\frac{k}{ab-k}$，$\frac{BF}{FC}$=$\frac{\frac{k}{a}}{b-\frac{k}{a}}$=$\frac{k}{ab-k}$，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{BF}{FC}$．
（2）①∵AE：EC=1：2，
∴BF：FC=1：2．
根据（1）所设，CE=$\frac{2}{3}$a，CF=$\frac{2}{3}$b，
∵S_△CEF=$\frac{1}{2}$•CE•CF=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$a×$\frac{2}{3}$b=4，
∴ab=18，
∴S_△AOE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$a×b=$\frac{1}{6}$ab=3=$\frac{1}{2}$k，
∴k=6，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{6}{x}$．
②假设存在．
当OP是平行四边形的边时，如图4、5所示．
∵点O（0，0），点P（2，-2），
∴设点M（a，$\frac{6}{a}$），则点N（a+2，$\frac{6}{a}$-2），
∵点N在反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象上，
∴（a+2）×（$\frac{6}{a}$-2）=6，
解得：a=-1-$\sqrt{7}$或a=-1+$\sqrt{7}$，
∴点M的坐标为（-1-$\sqrt{7}$，1-$\sqrt{7}$）或（-1+$\sqrt{7}$，1+$\sqrt{7}$）；
当OP为对角线时，如图6所示．
设M（a，$\frac{6}{a}$），N（b，$\frac{6}{b}$），
∵OP的中点坐标为（1，-1），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{\frac{6}{a}+\frac{6}{b}=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1-\sqrt{7}}\\{b=1+\sqrt{7}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=1+\sqrt{7}}\\{b=1-\sqrt{7}}\end{array}\right.$（舍去），
∴点M的坐标为（1-$\sqrt{7}$，-1-$\sqrt{7}$）．
综上可知：在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上存在点M、N（M在N的左侧），使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为（-1-$\sqrt{7}$，1-$\sqrt{7}$）、（-1+$\sqrt{7}$，1+$\sqrt{7}$）或（1-$\sqrt{7}$，-1-$\sqrt{7}$）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的结合意义以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用含a、b的代数式表示出来AE、EC、BF、CF；（2）①求出ab值；②分情况讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行四边形的性质结合已知两点的坐标找出另外两点坐标间的关系是关键．