Question

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）
（1）当AC=BC=2时，若△CEF与△ABC相似（如图1），求AD的长；
（2）当点D是AB的中点时（如图2），△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接CD，由已知条件得到△ABC是等腰直角三角形由于△CEF与△ABC相似，于是得到△CEF也是等腰直角三角形求得∠CEF=∠A=45°，于是得到EF∥AB，由轴对称的性质等等EF⊥CD，求出CD⊥AB，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）如图2，连接CD，与EF交于点Q，根据直角三角形的性质得到CD=DB=$\frac{1}{2}$AB，于是得到∠DCB=∠B，由轴对称的性质得到∠CQF=∠DQF=90°，推出∠DCB+∠CFE=90°，由于∠B+∠A=90°，于是得到∠CFE=∠A，即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，连接CD，
∵AC=BC=2，
∴△ABC是等腰直角三角形
又∵△CEF与△ABC相似，
∴△CEF也是等腰直角三角形
∴∠CEF=∠A=45°，
∴EF∥AB，
由轴对称的性质知：EF⊥CD，
∴CD⊥AB，
又∵AC=BC，
∴点D是AB的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{2}$；

（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似，
理由如下：如图2，连接CD，与EF交于点Q，
∵CD是Rt△ABC的中线，
∴CD=DB=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠DCB=∠B，
由轴对称的性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，
∴∠DCB+∠CFE=90°，
∵∠B+∠A=90°，
∴∠CFE=∠A，
又∵∠C=∠C，
∴△CEF∽△CBA．

点评 本题主要考查了折叠的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，难度适中．运用分类讨论及数形结合思想是解题的关键．