Question

如图1，在第一象限内，直线y=mx与过点B（0，1）且平行于x轴的直线l相交于点A，半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E，且与直线l分别交于不同的M、N两点．

（1）当点A的坐标为（，p）时，
①填空：p=___，m= ___，∠AOE= ___．
②如图2，连接QT、QE，QE交MN于点F，当r=2时，试说明：以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；
（2）在图1中，连接EQ并延长交⊙Q于点D，试探索：对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax²+bx+c，a的值会变化吗？若不变，求出a的值；若变化．请说明理由．

Answer 1

解：（1）1，，60°；
（2）连接TM，ME，EN，ON，如图，

∵OE和OP是⊙Q的切线，
∴QE⊥x轴，QT⊥OT，即∠QTA=90°，
而l∥x轴，
∴QE⊥MN，
∴MF=NF，
又∵当r=2，EF=1，
∴QF=2-1=1，
∴四边形QNEM为平行四边形，即QN∥ME，
∴NQ=NE，即△QEN为等边三角形，
∴∠NQE=60°，∠QNF=30°，
在四边形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°，
∴∠TQE=360°-90°-90°-60°=120°，
∴∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°，
∴T、Q、N三点共线，即TN为直径，
∴∠TMN=90°，
∴TN∥ME，
∴∠MTN=60°=∠TNE，
∴以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；
（3）对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax²+bx+c，a的值不会变化．理由如下：
连DM，ME，如图，
∵DM为直径，
∴∠DME=90°，
而DM垂直平分MN，
∴Rt△MFD∽Rt△EFM，
∴MF²=EF•FD，
设D（h，k），（h＞0，k=2r），则过M、D、N三点的抛物线的解析式为：y=a（x-h）²+k，
又∵M、N的纵坐标都为1，
当y=1，a（x-h）²+k=1，解得x₁="h-" ，x₂="h+" ，
∴MN="2" ，
∴MF= MN= ，
∴（）²=1•（k-1），
∵k＞1，
∴=k-1，
∴a=-1．

略