Question

已知抛物线y=mx²-(m+5)x+5.

(1)求证:它的图象与x轴必有交点,且过x轴上一定点;

(2)这条抛物线与x轴交于两点A(x₁,0),B(x₂,0),且0<x₁<x₂,过(1) 中定点的直线L;y=x+k交y轴于点D,且AB=4,圆心在直线L上的⊙M为A、B两点,求抛物线和直线的关系式,弦AB与弧围成的弓形面积.

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的联系、根的判别式、函数图象与坐标轴交点坐标的求法、函数解析式的确定、扇形面积的计算方法等

（1）若抛物线于x轴有交点，那么当y=0时，所得方程的根的判别式恒大于等于0，可据此进行证明；将抛物线解析式的右边，用十字相乘法进行因式分解，可得：y=（mx-5）（x-1），由此可看出抛物线一定经过点（1，0）．

（2）由于抛物线交x轴于A、B两点，且A在B左侧，且A、B都在原点的右侧，因此A（1，0），B（5，0），根据A点坐标，可确定直线的解析式，根据A、B的坐标，可确定抛物线的解析式；

若⊙M同时经过A、B两点，根据抛物线和圆的对称性知：点M必为抛物线对称轴与直线的交点，由此可求得点M的坐标为（3，2），而AB=4，因此△ABM是个等腰直角三角形，即可得到 的圆心角，那么扇形MAB的面积减去等腰直角三角形MAB的面积即为所求弓形的面积．

(1)证明:∵y=mx²-(m+5)x+5,∴△=[-(m+5)]²-4m×5=m²+10m+25-20m=(m- 5)².

不论m取任何实数,(m-5)²≥0,即△≥0,故抛物线与x轴必有交点.

    又∵x轴上点的纵坐标均为零,∴令y=0,代入y=mx²-(m+5)x+5,得

mx²-(m+5)x+ 5=0,(mx-5)(x-1)=0,

∴x=或x=1.故抛物线必过x轴上定点(1,0).

    (2)解:如答图所示,

∵L:y=x+k,把(1,0)代入上式,

得0=1+k,∴k=-1,∴y=x-1.

又∵抛物线与x轴交于两点A(x₁,0),B(x₂,0),且0<x₁<x₂,AB=4,

∵x₁x₂>0,∴x₁=1, x₂=5,∴A(1,0),B(5,0),

把B(5,0)代入y=mx²-(m+5)x+5,得0=25m-(m+5)×5+5.

    ∴m=1,∴y=x²-6x+5.

    ∵M点既在直线L:y=x-1上,又在线段AB的垂直平分线上,

∴M点的横坐标x₁+=1+.

把x=3代入y=x-1,得y=2.

∴圆心M(3,2),∴半径r=MA=MB= ,

∴MA²=MB²=8.

又AB²=4²= 16,∴MA²+MB²=AB²,

∴△ABM为直角三角形,且∠AMB=90°,

∴S弓形ACB=S扇形AMB- S△ABM=97.