【题目】(12分)如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,直线BD交抛物线于点D,并且D(2,3),B(﹣4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点M为抛物线上一动点,且在第三象限,顺次连接点B、M、C,求△BMC面积的最大值;
(3)在(2)中△BMC面积最大的条件下,过点M作直线平行于y轴,在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心,OQ为半径且与直线AC相切的圆?若存在,求出圆心Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2+x﹣2;(2)S△BMC最大值为4;(3)存在;点Q的坐标为(﹣2,4)或(﹣2,﹣1).
【解析】
(1)用待定系数法求出抛物线的解析式即可;
(2)首先求出三边形BMC面积的表达式,然后利用二次函数的性质求出其最大值;
(3)设点Q坐标为(﹣2,m).先求出sin∠QHN的值,然后求出直线AC的表达式,从而得出点H的坐标.解Rt△QNH得出m的值.即可得到结论.
(1)将D(2,3)、B(﹣4,0)的坐标代入抛物线表达式得:,解得,∴抛物线的解析式为:yx2x﹣2.
(2)过点M作y轴的平行线,交直线BC于点K.
将点B、C的坐标代入一次函数表达式:y=k′x+b′得:,解得:,则直线BC的表达式为:.
设点M的坐标为(x,),则点K(x,),S△BMC=MKOB=2()=﹣x2﹣4x.
∵a=﹣1<0,∴S△BMC有最大值,当x==﹣2时,S△BMC最大值为4,点M的坐标为(﹣2,﹣3);
(3)如图所示,存在一个以Q点为圆心,OQ为半径且与直线AC相切的圆,切点为N,过点M作直线平行于y轴,交直线AC于点H.
点M坐标为(﹣2,﹣3),设:点Q坐标为(﹣2,m),点A、C的坐标为(1,0)、(0,﹣2),tan∠OCA=.
∵QH∥y轴,∴∠QHN=∠OCA,∴tan∠QHN=,则sin∠QHN=.
将点A、C的坐标代入一次函数表达式:y=mx+n得:,则直线AC的表达式为:y=2x﹣2,则点H(﹣2,﹣6).
在Rt△QNH中,QH=m+6,QN=OQ==,sin∠QHN= ,解得:m=4或﹣1.
即点Q的坐标为(﹣2,4)或(﹣2,﹣1).
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【题目】如图,直角△ABC中,∠A为直角,AB=6,AC=8.点P、Q、R分别在AB、BC、CA边上同时开始作匀速运动,2秒后三个点同时停止运动,点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动,点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动,点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动,用t(秒)(0≤t≤2)表示运动时间,在运动过程中:
(1)当t为何值时,△APR的面积为4;
(2)求出△CRQ的最大面积;
(3)是否存在t,使∠PQR=90°?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(﹣4,﹣3),与y轴交于点B,对称轴是x=﹣3,请解答下列问题:
(1)求抛物线的解析式.
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C,D两点,点C在对称轴左侧,且CD=8,求△BCD的面积.注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=﹣.
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【题目】如图,正方形ABCD中,BE=EF=FC,CG=2GD,BG分别交AE,AF于M,N.下列结论:①AF⊥BG;②BN=NF;③;④.其中正确的结论的序号是______.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=6cm,BC=7cm,∠ABC=30°,点P从A点出发,以1cm/s的速度向B点移动,点Q从B点出发,以2cm/s的速度向C点移动.如果P、Q两点同时出发,经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2?
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【题目】在图1、2中,⊙O过了正方形网格中的格点A、B、C、D,请你仅用无刻度的直尺分别在图1、图2、图3中画出一个满足下列条件的∠P
(1)顶点P在⊙O上且不与点A、B、C、D重合;
(2)∠P在图1、图2、图3中的正切值分别为1、、2.
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【题目】根据下列各组条件,△ABC与△A1B1C1相似的有( )
①∠A=45°,AB=12,AC=15,∠A1=45°,A1B1=16,A1C1=20
②AB=12,BC=15,AC=24,A1B1=20,A1C1=40,B1C1=25
③∠B=∠B1=75°,∠C=50°,∠A1=55°
④∠C=∠C1=90°,AB=10,AC=6,A1B1=15,A1C1=9
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=10,点D是边上一动点(不与B,C重合),∠ADE=∠B=a,DE交AC于点E,且cosa=,则线段CE的最大值为____.
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【题目】对于反比例函数y=(k≠0),下列说法不正确的是( )
A. 它的图象分布在第一、三象限 B. 点(k,k)在它的图象上
C. 它的图象关于原点对称 D. 在每个象限内y随x的增大而增大
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