Question

如图，已知：在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且a、b是关于x的一元二次方程x²+4（c+2）=（c+4）x的两个根，点D是以C为圆心，CB为半径的圆与AB的交点．
（1）证明：△ABC是直角三角形；
（2）若

a

b

=

3

4

，求AB的长；
（3）在（2）的条件下求AD长．

Answer 1

（1）证明：依题意，得a+b=c+4，ab=4（c+2）（1分）
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（c+4）²-2×4（c+2）=c²+8c+16-8c-16=c²
∴△ABC是直角三角形．（3分）

（2）设a=3k，b=4k，从而c=5k（k＞0）．
代入a+b=c+4，得k=2；
∴a=6，b=8，c=10．（5分）

（3）过C作CE⊥AB于E．
则CE=

ab

c

=

24

5

，BE=

BC2-CE2

=

62-( 24 5 )2

=

18

5

；
由垂径定理，得BD=2BE=

36

5

；
故AD=10-BD=10-7.2=2.8．（9分）