Question

14．在小学，我们知道正方形具有性质“四条边都相等，四个内角都是直角”，请适当利用上述知识，解答下列问题：
已知：如图，在正方形ABCD中，AB=4，点G是射线AB上的一个动点，以DG为边向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于点H．
（1）填空：∠AGD+∠EGH=90°；
（2）若点G在点B的右边．
①求证：△DAG≌△GHE；
②试探索：EH-BG的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
（3）连接EB，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，求∠EBH的度数；若点G是直线AB上的一个动点，其余条件不变，请直接写出点A与点F之间距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到∠DGE=90°，由平角的定义即可得到结论；
（2）①根据垂直的定义得到∠GHE=90°，根据余角的性质得到∠GEH=∠AGD，根据正方形的性质得到∠DAG=90°，DG=GE，求得∠DAG=∠GHE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到AG=EH，根据线段的和差即可得到结论；
（3）下面分两种情况讨论：（ I）当点G在点B的左侧时，如图1，根据全等三角形的性质得到GH=DA=AB，EH=AG，于是得到GB+BH=AG+GB，推出△BHE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠EBH=45°；（ II） 如图2，当点G在点B的右侧时，根据全等三角形的想知道的GH=DA=AB，EH=AG，于是得到AB+BG=BG+GH，推出△BHE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠EBH=45°；（ III）当点G与点B重合时，如图3，根据全等三角形的性质得到GH=DA=AB，EH=AG=AB，推出△GHE（即△BHE）是等腰直角三角形，于是得到∠EBH=45°即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形DGEF是正方形，
∴∠DGE=90°，
∴∠AGD+∠EGH=180°-∠DGE=90°，
故答案为：90；

（2）①∵EH⊥AB，
∴∠GHE=90°，
∴∠GEH+∠EGH=90°，
又∠AGD+∠EGH=90°，
∴∠GEH=∠AGD，
∵四边形ABCD与四边形DGEF都是正方形，
∴∠DAG=90°，DG=GE，
∴∠DAG=∠GHE，
在△DAG和△GHE中，$\left\{\begin{array}{l}∠DAG=∠GHE\\∠GEH=∠AGD\\ DG=GE\end{array}\right.$，
∴△DAG≌△GHE（AAS）；
②EH-BG的值是定值，
理由如下：
由①证得：△DAG≌△GHE，
∴AG=EH，
又AG=AB+BG，AB=4，
∴EH=AB+BG，EH-BG=AB=4；

（3）下面分两种情况讨论：
（ I）当点G在点B的左侧时，如图1，同（2）①可证得：△DAG≌△GHE，
∴GH=DA=AB，EH=AG，
∴GB+BH=AG+GB，
∴BH=AG=EH，又∠GHE=90°
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴∠EBH=45°；
（ II） 如图2，当点G在点B的右侧时，
由（2）①证得：△DAG≌△GHE．
∴GH=DA=AB，EH=AG，
∴AB+BG=BG+GH，
∴AG=BH，又EH=AG
∴EH=HB，又∠GHE=90°
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴∠EBH=45°；
（ III）当点G与点B重合时，如图3，同理可证：△DAG≌△GHE，
∴GH=DA=AB，EH=AG=AB，
∴△GHE（即△BHE）是等腰直角三角形，
∴∠EBH=45°
综上，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，∠EBH都等于45°，
∴点A与点F之间距离的最小值为4．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证得△DAG≌△GHE是解题的关键．