Question

14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，已知CD=3，BD=5，则下列结论中错误的是（　　）

• A． AC=6
• B． AD=7
• C． BC=8
• D． AB=10

Answer 1

分析 过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可知CD=DE=3，由勾股定理求出BE的长，再由相似三角形的判定定理得出△BED∽△BCA，故可得出AC及AB的长，在Rt△ACD中，根据勾股定理求出AD的长即可．

解答 解：∵CD=3，BD=5，
∴BC=CD+BD=3+5=8，故C正确；
过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠CAB，
∴CD=DE=3．
在Rt△BDE中，
∵BD=5，DE=3，
∴BE=$\sqrt{{BD}^{2}-{DE}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
∵∠B=∠B，∠DEB=∠C，
∴△BED∽△BCA，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BE}{BC}$，即$\frac{5}{AB}$=$\frac{3}{AC}$=$\frac{4}{8}$，解得AB=10，AC=6，故A，D正确；
在Rt△ACD中，
∵AC=6，CD=3，
∴AD=$\sqrt{{AC}^{2}+{CD}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，故B错误．
故选B．

点评 本题考查的是角平分线的性质，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．