Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，G是的中点，连接AG交BC于D，过D的直线交AB于E，交AC的延长线于F；
求证：AB•AC-BD•DC=AE•AF-ED•DF．

Answer 1

证明：连接BG，
∵∠BAG=∠GAF，∠G=∠ACB，
∴△ABG∽△ADC．
∴AB：AG=AD：AC．
∴AB•AC=AG•AD．
∵BD•CD=AD•DG，
∴AB•AC-BD•CD=AG•AD-AD•DG．
∴AB•AC-BD•CD=AD•（AG-DG）．
∵AG-DG=AD，
∴AB•AC-BD•CD=AD²．
同理：AE•AF-ED•DF=AD²．
∴AB•AC-BD•CD=AE•AF-ED•DF．
分析：在本题中，易证△ABG∽△ADC，从而得出，即AB•AC=AG•AD，再者根据相交弦定理可知BD•CD=AD•DG，从而利用线段之间的和差关系得出结论．
点评：此题是相似三角形的一个变形，主要考查对应边成比例，把比例式变为等积式．