Question

如图，直线y=kx+2k（k≠0）与x轴交于点B，与双曲线y=（m+5）x^2m+1交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求B点的坐标；
（3）若S_△AOB=2，求A点的坐标；
（4）在（3）的条件下，在x轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据双曲线函数的定义可以确定m的值；
（2）利用y=kx+2k当y=0时，x=2就知道B的坐标；
（3）根据（1）知道OB=2，而S_△AOB=2，利用它们可以求出A的坐标；
（4）存在点P，使△AOP是等腰三角形．只是确定P坐标时，题目没有说明谁是腰，是底，所以要分类讨论，不要漏解．

解答：解：（1）∵y=（m+5）x^2m+1是双曲线
∴

2m+1=-1 m+5≠0

．
∴m=-1（2分）
∴y=

4

x

（3分）

（2）∵直线y=kx+2k（k≠0）与x轴交于点B
∴当y=0时，0=kx+2k
∴x=-2（5分）
∴B（-2，0）（6分）

（3）∵B（-2，0）
∴OB=2（7分）
过A作AD⊥x轴于点D
∵点A在双曲线y=

4

x

上，
∴设A（a，b）
∴ab=4，AD=b（8分）
又∵S_△AOB=

1

2

OB•AD=

1

2

×2b=2
∴b=2（9分）
∴a=2，
∴A（2，2）（10分）

（4）P₁（2，0），P₂（4，0），P₃（-2

2

，0），P₄（2

2

，0）．
（写对一个得一分）（14分）

点评：此题考查了反比例函数的定义确定函数的解析式，也考查了利用函数的性质确定点的坐标，最后考查了根据图形变换求点的坐标．