Question

5．甲、乙两班离A地的距离分别为y₁km，y₂km，y₁，y₂与x（h）之间的函数关系如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）直接写出y₁，y₂与x之间的函数表达式．
（2）求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离A地多少千米？
（3）甲、乙两班首次相距4km时所用时间是多少小时？

Answer 1

分析 （1）设甲班离A地的距离y₁（km）与x（h）之间的函数表达式为y₁=k₁x，乙班离A地的距离y₂（km）与x（h）之间的函数表达式为y₂=k₂x+10，结合点（2.5，10）利用待定系数法可求出y₁（km）与x（h）之间的函数表达式，结合点（2，0）利用待定系数法可求出y₂（km）与x（h）之间的函数表达式；
（2）联立两个函数表达式成方程组，解方程组即可得出结论；
（3）令y₂-y₁=4，得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）设甲班离A地的距离y₁（km）与x（h）之间的函数表达式为y₁=k₁x，乙班离A地的距离y₂（km）与x（h）之间的函数表达式为y₂=k₂x+10，
将点（2.5，10）代入到y₁=k₁x中，有10=2.5k₁，
解得：k₁=4，
∴y₁（km）与x（h）之间的函数表达式为y₁=4x（0≤x≤2.5）；
将点（2，0）代入到y₂=k₂x+10中，有0=2k₂+10，
解得：k₂=-5，
∴y₂（km）与x（h）之间的函数表达式y₂=-5x+10（0≤x≤2）．
（2）联立两个表达式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=4x}\\{y=-5x+10}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{10}{9}}\\{y=\frac{40}{9}}\end{array}\right.$．
故甲、乙两班学生出发后，$\frac{10}{9}$小时相遇，相遇时乙班离A地$\frac{40}{9}$千米．
（3）令y₂-y₁=4，即-5x+10-4x=4，
解得：x=$\frac{2}{3}$．
故甲、乙两班首次相距4km时所用时间是$\frac{2}{3}$小时．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解二元一次方程组以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）联立两个函数表达式成方程组；（3）根据数量关系得出关于x的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合函数图象找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键．