Question

如图，直线l分别交x轴，y轴正半轴于A、B两点，A（a，0），B（0，b），且(a-b)2+

b2-16

=0．
（1）求A、B两点的坐标，并指出△AOB的形状．
（2）C是线段AB上一点，C点的横坐标为3，以OC为直角边的等腰Rt△COE的斜边EC交y轴的正半轴于P，求出P点坐标；
（3）若C是射线AB上一动点（点C为AB的中点除外，且点C不与B点重合），连CO，将OC绕O顺时针方向旋转90°到OD，连CD，求∠CAD的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,坐标与图形变化-旋转

专题：

分析：（1）根据解方程，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得AB的解析式，根据OC=OE，OC⊥OE，可得E点坐标，根据待定系数法，可得直线EC的解析式，根据自变量的值为0，可得答案；
（3）分两种情况讨论，当C点在射线AB外，由等腰直角三角形AOB可知∠ABO=∠BAO=45°，∠3+∠COB=45°，由EC∥OB得∠1=∠BOC，然后通过等腰三角形COD，得出∠1=∠2，通过三角形CBO与三角形DAO全等，得出∠2=∠BOC，∠4=∠3，从而求得∠DAF=∠2+∠4=45°，则∠DAF+∠BAO=90°，求得∠CAD的度数；当C点在AB内，通过两个等腰直角三角形的性质，以及三角形BOC与AOD全等即可求得．

解答：解：（1）由(a-b)2+

b2-16

=0，
得

a-b=0 b2=16

，
解得a=b=±4，
直线l分别交x轴，y轴正半轴于A、B两点，A（a，0），B（0，b），
∴a=b=4，
∴A（4，0），B（0，4），
△AOB是等腰直角三角形；

（2）如图：

由A（4，0），B（0，4）得直线AB：y=-x+4，
当x=3时，y=-3+4=1，C（3，1）
由OC=OE，OC⊥OE，
得E（-1，3）
直线CE的解析式是y=-

3

2

x+

5

2

，
当x=0时，y=

5

2

，
P（0，

5

2

）；

（3）如图2：当C点在射线AB外，

作CE⊥X轴，DF⊥X轴，
∵∠1+∠COE=90°，∠2+∠COE=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠COB+∠BOD=90°，∠2+∠BOD=90°，
∴∠COB=∠2，
在△COB与△DOA中，

OC=OD ∠COB=∠2 OB=OA=4

，
∴△COB≌△DOA（ASA）
∴∠3=∠4，
∵OA=OB=4，
∴∠OAB=∠OBA=45°
∴∠1+∠3=45°，
∵EC∥OB，
∴∠1=∠COB，
∵∠1+∠3=45°，
∴∠2+∠4=45°，
∴∠CAD=90°

当C点在AB内，如图3所示，

∵OA=OB=4，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB-∠AOC=∠COD-∠AOC，
即∠BOC=∠AOD，
在△BOC与△AOD中，

OB=OA ∠BOC=∠AOD OC=OD

，
∴△BOC≌△AOD（SAS）
∴∠OAD=∠OBC=45°，
∴∠BAO+∠OAD=90°．

点评：本题考查了解方程，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质．