Question

13．如图，
（1）如果，AC垂直平分BD．那么，CA平分∠BAD吗？CA平分∠BCD吗？
（2）如果，CA平分∠BAD，且CB⊥AB，CD⊥AD．那么，AC垂直平分BD．

Answer 1

分析 （1）由AC垂直平分BD，得到AB=AC，CB=CD，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质得到CB=CD，根据全等三角形的性质得到AB=AD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）CA平分∠BAD，CA平分∠BCD，
理由：∵AC垂直平分BD，
∴AB=AC，CB=CD，
在△ABC和△ADC中$\left\{\begin{array}{l}AB=AD\\ CB=CD\\ AC=AC\end{array}\right.$
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，
∴CA平分∠BAD，CA平分∠BCD；

（2）∵CA平分∠BAD，且CB⊥AB，CD⊥AD，
∴CB=CD，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
在△ABC和△ADC中$\left\{\begin{array}{l}∠ABC=∠ADC\\∠BAC=∠DAC\\ CB=CD\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（AAS），
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等），
∴△ABD是等腰三角形，
∵CA平分∠BAD
∴AC垂直平分BD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．