Question

（2013•青铜峡市模拟）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC？
（2）设△AQP的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）当PQ∥BC时，我们可得出三角形APQ和三角形ABC相似，那么可得出关于AP，AB，AQ，AC的比例关系，我们观察这四条线段，已知的有AC，根据P，Q的速度，可以用时间t表示出AQ，BP的长，而AB可以用勾股定理求出，这样也就可以表示出AP，那么将这些数值代入比例关系式中，即可得出t的值．
（2）求三角形APQ的面积就要先确定底边和高的值，底边AQ可以根据Q的速度和时间t表示出来．关键是高，可以用AP和∠A的正弦值来求．AP的长可以用AB-BP求得，而sinA就是BC：AB的值，因此表示出AQ和AQ边上的高后，就可以得出y与t的函数关系式．
（3）我们可通过构建相似三角形来求解．过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，那么PNCM就是个矩形，解题思路：通过三角形BPN和三角形ABC相似，得出关于BP，PN，AB，AC的比例关系，即可用t表示出PN的长，也就表示出了MC的长，要想使四边形PQP'C是菱形，PQ=PC，根据等腰三角形三线合一的特点，QM=MC，这样有用t表示出的AQ，QM，MC三条线段和AC的长，就可以根据AC=AQ+QM+MC来求出t的值．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB=

BC2+AC2

，
由题意知：AP=5-t，AQ=2t，若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，
∴

AQ

AC

=

AP

AB

，∴

2t

4

=

5-t

5

，
∴t=

10

7

．所以当t=

10

7

时，PQ∥BC．

（2）过点P作PH⊥AC于H．
∵△APH∽△ABC，
∴

PH

BC

=

AP

AB

，
∴

PH

3

=

5-t

5

，
∴PH=3-

3

5

t，
∴y=

1

2

×AQ×PH=

1

2

×2t×（3-

3

5

t）=-

3

5

t²+3t．

（3）过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，
若四边形PQP'C是菱形，那么PQ=PC．
∵PM⊥AC于M，
∴QM=CM．
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
∴

PN

AC

=

BP

AB

，∴

PN

4

=

t

5

，
∴PN=

4t

5

，
∴QM=CM=

4t

5

，
∴

4

5

t+

4

5

t+2t=4，解得：t=

10

9

．
∴当t=

10

9

s时，四边形PQP'C是菱形．

点评：本题考查了图形结合的动态题，是近几年考试热点，同时考查三角形相似知识，是一道很好的综合题．本题亮点是巧妙结合图形综合考查不同知识点．