Question

 (1)在图1中，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN．∠ABC＝∠ADC＝90°，则能得如下两个结论：① DC = BC; ②AD+AB=AC.请你证明结论②；

 (2)在图2中，把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC＋∠ADC＝180°，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：

∵∠MAN＝120°，AC平分∠MAN．…1分

  ∴∠DAC = ∠BAC =60⁰ …2分

  ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，

  ∴∠DCA＝∠BCA＝30°，…3分                                

  在Rt△ACD，Rt△ACB中，∠DCA＝30°

∠BCA＝30°

   ∴AC=2AD，   AC = 2AB，  …4分

∴2AD=2AB    

∴AD=AB   …5分

 ∴AD+AB=AC. …6分

（2）解：（1）中的结论① DC = BC; ②AD+AB=AC都成立，…7分　　　　　　　

理由一：如图2，在AN上截取AE=AC，连结CE，                

∵∠BAC =60°，

∴△CAE为等边三角形，

∴AC=CE，∠AEC =60°，  ……8分                                          

∵∠DAC =60°，∴∠DAC =∠AEC，  ……9分                                               

∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠EBC＝180°，

∴∠ADC =∠EBC， ∴，                                                                                                                                                                              

∴DC = BC，DA = BE，  ……10分

∴AD+AB=AB+BE=AE，   ∴AD+AB=AC． ……12分

或者理由二：如图，过C作CE⊥AN,CF⊥AM于E、F

证明△BCE≌△DCF,得到

DC=BC,BE=DF

即AC=AE+AF=AB+AD亦可

得分参照理由一给分