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(2013•长沙)设a、b是任意两个不等实数,我们规定:满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量x与函数值y满足:当m≤x≤n时,有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m,n]上的“闭函数”.
(1)反比例函数y=
2013
x
是闭区间[1,2013]上的“闭函数”吗?请判断并说明理由;
(2)若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”,求此函数的解析式;
(3)若二次函数y=
1
5
x2-
4
5
x-
7
5
是闭区间[a,b]上的“闭函数”,求实数a,b的值.
分析:(1)根据反比例函数y=
2013
x
的单调区间进行判断;
(2)根据新定义运算法则列出关于系数k、b的方程组
km+b=m
kn+b=n
km+b=n
kn+b=m
,通过解该方程组即可求得系数k、b的值;
(3)y=
1
5
x2-
4
5
x-
7
5
=
1
5
(x-2)2-
11
5
,所以该二次函数的图象开口方向向上,最小值是-
11
5
,且当x<2时,y随x的增大而减小;当x>2时,y随x的增大而增大;根据新定义运算法则列出关于系数a、b的方程组
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
=b
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
=a
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
=a
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
=b
,通过解方程组即可求得a、b的值.
解答:解:(1)反比例函数y=
2013
x
是闭区间[1,2013]上的“闭函数”.理由如下:
反比例函数y=
2013
x
在第一象限,y随x的增大而减小,
当x=1时,y=2013;
当x=2013时,y=1,
所以,当1≤x≤2013时,有1≤y≤2013,符合闭函数的定义,故
反比例函数y=
2013
x
是闭区间[1,2013]上的“闭函数”;

(2)分两种情况:k>0或k<0.
①当k>0时,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是y随x的增大而增大,故根据“闭函数”的定义知,
km+b=m
kn+b=n

解得
k=1
b=0

∴此函数的解析式是y=x;
②当k<0时,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是y随x的增大而减小,故根据“闭函数”的定义知,
km+b=n
kn+b=m

解得
k=-1
b=m+n

∴此函数的解析式是y=-x+m+n;

(3)∵y=
1
5
x2-
4
5
x-
7
5
=
1
5
(x-2)2-
11
5

∴该二次函数的图象开口方向向上,最小值是-
11
5
,且当x<2时,y随x的增大而减小;当x>2时,y随x的增大而增大;
①当b≤2时,此二次函数y随x的增大而减小,则根据“闭函数”的定义知,
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
=b
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
=a

解得,
a=1
b=-2
(不合题意,舍去)或
a=-2
b=1

②当a<2<b时,此时二次函数y=
1
5
x2-
4
5
x-
7
5
的最小值是-
11
5
=a,根据“闭函数”的定义知,b=
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
、b=
1
5
b2-
4
5
b-
7
5

a)当b=
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
时,由于b=
1
5
(-
11
5
2-
4
5
×(-
11
5
)-
7
5
=
166
125
<2,不合题意,舍去;
b)当b=
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
时,解得b=
109
2

由于b>2,
所以b=
9+
109
2

③当a≥2时,此二次函数y随x的增大而增大,则根据“闭函数”的定义知,
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
=a
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
=b

解得,
a=
9-
109
2
b=
9+
109
2

9-
109
2
<0,
∴舍去.
综上所述,
a=-2
b=1
a=-
11
5
b=
9+
109
2
点评:本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性,一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质.解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义.解题时,也要注意“分类讨论”数学思想的应用.
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