Question

（2013•长沙）设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．
（1）反比例函数y=

2013

x

是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；
（3）若二次函数y=

1

5

x²-

4

5

x-

7

5

是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．

Answer 1

分析：（1）根据反比例函数y=

2013

x

的单调区间进行判断；
（2）根据新定义运算法则列出关于系数k、b的方程组

km+b=m kn+b=n

或

km+b=n kn+b=m

，通过解该方程组即可求得系数k、b的值；
（3）y=

1

5

x²-

4

5

x-

7

5

=

1

5

（x-2）²-

11

5

，所以该二次函数的图象开口方向向上，最小值是-

11

5

，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大；根据新定义运算法则列出关于系数a、b的方程组

1 5 a2- 4 5 a- 7 5 =b 1 5 b2- 4 5 b- 7 5 =a

或

1 5 a2- 4 5 a- 7 5 =a 1 5 b2- 4 5 b- 7 5 =b

，通过解方程组即可求得a、b的值．

解答：解：（1）反比例函数y=

2013

x

是闭区间[1，2013]上的“闭函数”．理由如下：
反比例函数y=

2013

x

在第一象限，y随x的增大而减小，
当x=1时，y=2013；
当x=2013时，y=1，
所以，当1≤x≤2013时，有1≤y≤2013，符合闭函数的定义，故
反比例函数y=

2013

x

是闭区间[1，2013]上的“闭函数”；

（2）分两种情况：k＞0或k＜0．
①当k＞0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，

km+b=m kn+b=n

，
解得

k=1 b=0

．
∴此函数的解析式是y=x；
②当k＜0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，

km+b=n kn+b=m

，
解得

k=-1 b=m+n

．
∴此函数的解析式是y=-x+m+n；

（3）∵y=

1

5

x²-

4

5

x-

7

5

=

1

5

（x-2）²-

11

5

，
∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是-

11

5

，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大；
①当b≤2时，此二次函数y随x的增大而减小，则根据“闭函数”的定义知，

1 5 a2- 4 5 a- 7 5 =b 1 5 b2- 4 5 b- 7 5 =a

，
解得，

a=1 b=-2

（不合题意，舍去）或

a=-2 b=1

；
②当a＜2＜b时，此时二次函数y=

1

5

x²-

4

5

x-

7

5

的最小值是-

11

5

=a，根据“闭函数”的定义知，b=

1

5

a²-

4

5

a-

7

5

、b=

1

5

b²-

4

5

b-

7

5

；
a）当b=

1

5

a²-

4

5

a-

7

5

时，由于b=

1

5

（-

11

5

）²-

4

5

×（-

11

5

）-

7

5

=

166

125

＜2，不合题意，舍去；
b）当b=

1

5

b²-

4

5

b-

7

5

时，解得b=

9± 109

2

，
由于b＞2，
所以b=

9+ 109

2

；
③当a≥2时，此二次函数y随x的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，

1 5 a2- 4 5 a- 7 5 =a 1 5 b2- 4 5 b- 7 5 =b

，
解得，

a= 9- 109 2 b= 9+ 109 2

，
∵

9- 109

2

＜0，
∴舍去．
综上所述，

a=-2 b=1

或

a=- 11 5 b= 9+ 109 2

．

点评：本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质．解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．