Question

已知二次函数y=ax²+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

（1）求二次函数的解析式；
（2）求以二次函数图象与坐标轴交点为顶点的三角形面积；
（3）若A（m，y₁），B（m-1，y₂），两点都在该函数的图象上，且m＜2，试比较y₁与y₂的大小．

Answer 1

分析：（1）由图表可知：该抛物线的顶点坐标为（2，-2），可将该二次函数解析式设为顶点式，任取一点坐标代入即可求得该二次函数的解析式；
（2）令二次函数解析式中，y=0，可求得抛物线与x轴的交点坐标；令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；以抛物线与x轴两交点间的距离为底，与y轴交点的纵坐标的绝对值为高，即可求得该三角形的面积；
（3）根据m的取值范围，先确定A、B两点位于抛物线对称轴的哪一侧，然后根据抛物线的开口方向以及函数的增减性来讨论A、B的纵坐标的大小关系．

解答：解：（1）由表格知，二次函数顶点坐标为（2，-2），
设y=a（x-2）²-2，
又二次函数过点（0，2），
代入解得a=1，
∴二次函数为y=（x-2）²-2，
整理得y=x²-4x+2．

（2）二次函数y=x²-4x+2与y轴交于点（0，2），
令y=0得：x1=2+

2

，x2=2-

2

；
二次函数与x轴交于（2-

2

，0)，(2+

2

，0)，
求得三角形面积为

1

2

×2

2

×2=2

2

．

（3）∵对称轴为直线x=2，图象开口向上，
又∵m＜2，m＞m-1，
∴y₁＜y₂．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法以及二次函数的增减性等基础知识；需要注意的是，在讨论二次函数增减性的时候，一定要考虑到抛物线的对称轴及开口方向．