Question

【题目】在平面直角坐标系中,直线y=-分别与x轴、y轴交于点A、B,且点A的坐标为(8,0),四边形ABCD是正方形．

（1）填空:b= ；

（2）求点D的坐标；

（3）点M是线段AB上的一个动点(点A、B除外),试探索在x上方是否存在另一个点N,使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形?若不存在,请说明理由;若存在,请求出点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）点D的坐标为（14，8）；（3）存在，点N的坐标为（4，3）或（，）．

【解析】

（1）把（8，0）代入y＝x＋b即可求得b的值；

（2）过点D作DE⊥x轴于点E，证明△OAB≌△EDA，即可求得AE和DE的长，则点D的坐标即可求得；

（3）分两种情况讨论：①当OM＝MB＝BN＝NO时，求出点M的坐标即可；②当OB＝BN＝NM＝MO＝6时，求出对角线交点的坐标即可．

解：（1）把（8，0）代入y＝x＋b，得：6＋b＝0，

解得：b＝6，

故答案是：6；

（2）如图1，过点D作DE⊥x轴于点E，

∵在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，

∴∠1＋∠2＝90°，

又∵在直角△OAB中，∠2＋∠3＝90°，

∴∠1＝∠3，

在△OAB和△EDA中，，

∴△OAB≌△EDA（AAS），

∴AE＝OB，DE＝OA，

∵b＝6，点A的坐标为(8，0)，

∴AE＝OB＝6，DE＝OA＝8，

∴OE＝8＋6＝14，

∴点D的坐标为（14，8）；

（3）存在．

①如图2，当OM＝MB＝BN＝NO时，四边形OMBN为菱形，则MN在OB的中垂线上，即M的纵坐标是3，

把y＝3代入y＝x＋6中，得x＝4，即M的坐标是（4，3），

则点N的坐标为（4，3）；

②如图3，当OB＝BN＝NM＝MO＝6时，四边形BOMN为菱形，连接ON交BM于F，

∵ON⊥BM，

∴直线ON的解析式为：y＝x，

联立，解得：，

即点F的坐标为（，），

∴点N的坐标为（，），

综上所述，满足条件的点N的坐标为（4，3）或（，）．