Question

若a、b、c、x、y、z均为正实数，且a+x=b+y=c+z=k．求证：ax+by+cz＜k²．

Answer 1

考点：等边三角形的性质

专题：证明题

分析：利用a+x=b+y=c+z=k．得到ax≤

k2

4

、by≤

k2

4

、cz≤

k2

4

从而得到ax+by+cz≤

3k2

4

，然后根据

3k2

4

＜k²得到ax+by+cz＜k²即可．

解答：解：∵k=a+x，a、b、c、x、y、z均为正实数，
∴a+x≥2

ax

，
即：

ax

≤

k

2

ax≤

k2

4

同理by≤

k2

4

、cz≤

k2

4

∴ax+by+cz≤

3k2

4

∵k²＞0
∴

3k2

4

＜k²
∴ax+by+cz＜k²．

点评：本题考查了等式的变化类问题，解题的关键是根据a+x=b+y=c+z=k．得到ax≤

k2

4

、by≤

k2

4

、cz≤

k2

4

．