Question

11．在等腰直角三角形中，AB=AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）说明：BE²+CF²=EF²；
（2）若BE=12，CF=5，试求△DEF的面积．

Answer 1

分析 （1）连接AD，首先利用等腰直角三角形的性质得到AD⊥BC，AD=CD=BD，∠C=∠DAE，得出∠CDF=∠ADE，然后利用ASA证得DCF≌△ADE，得出CF=AE，DF=DE，得出BE=AF，再根据勾股定理即可得出结论；
（2）由（1）知：AE=CF，AF=BC，DE=DF，即△EDF为等腰直角三角形，在Rt△AEF中，运用勾股定理求出EF，进而求出DE、DF的值，代入S_△EDF=$\frac{1}{2}$DE²进行求解即可．

解答 （1）证明：连接AD，如图所示：
∵AB=AC，D为BC的中点，∠BAC=90°，
∴AD⊥BC，AD=CD=BD，∠C=∠B=45°，∠DAE=45°，
∵DE⊥DF，
∴∠CDF+∠ADF=∠EDA+∠ADF，
即∠CDF=∠ADE，
在△DCF和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠DAE}&{\;}\\{CD=AD}&{\;}\\{∠CDF=∠ADE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△ADE（ASA），
∴CF=AE，DF=DE，
∴BE=AF，
∵AF²+AE²=EF²，
∴BE²+CF²=EF²；
（2）解：由（1）知：AE=CF=5，同理AF=BE=12，
∵∠EAF=90°，
∴EF²=AE²+AF²=5²+12²=169，
∴EF=13，
又∵由（1）知：△AED≌△CFD，
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴DE=DF=EF•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$，
∴△DEF的面积=$\frac{1}{2}$DE²=$\frac{169}{4}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及三角形面积的计算；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．