Question

13．如图，菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC=8cm  BD=6cm，动点M从A点出发沿AC方向以2cm/s匀速直线运动到C点，动点N从B点出发沿BD方向以1cm/s匀速直线运动到D点，若M，N同时出发，设运动时间为t秒：
（1）当t=1秒时，M，N两点之间的距离是多少？
（2）当2＜t＜3时，用含t的代数式表示OM的长；
设W=MN²，求W关于t的函数关系式；            
（3）当t为何值时，△MON的面积为$\frac{1}{4}$cm²．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的性质得出OM、ON，利用勾股定理得出MN即可；
（2）当2＜t＜3时，OM=2t-4，ON=3-t，利用勾股定理求得MN的平方即可；
（3）根据点M、N运动过程中与O点的位置关系，分当t＜2时，点M在线段AO上，点N在线段BO上、当2＜t＜3时，点M在线段OC上，点N在线段BO上和当t＞3时，点M在线段OC上，点N在线段OD上三种情况分别讨论，利用三角形的面积建立方程求得答案即可．

解答 解：（1）∵菱形ABCD中，AC=8cm  BD=6cm，
∴OA=4，OB=3，
∵当t=1秒时，OM=4-2=2，ON=3-1=2，
∴MN=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
（2）当2＜t＜3时，OM=2t-4，ON=3-t，
W=MN²=OM²+ON²=（2t-4）²+（3-t）²=5t²-22t+25；
（3）①当t＜2时，点M在线段AO上，点N在线段BO上．
$\frac{1}{2}$（4-2t）（3-t）=$\frac{1}{4}$；
解得t₁=$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$，t₂=$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$，
∵t＜2，
∴t=$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$；
②当2＜t＜3时，点M在线段OC上，点N在线段BO上，
$\frac{1}{2}$（2t-4）（3-t）=$\frac{1}{4}$；
解得t₁=t₂=$\frac{5}{2}$；
③当t＞3时，点M在线段OC上，点N在线段OD上，
$\frac{1}{2}$（2t-4）（t-3）=$\frac{1}{4}$；
解得t₁=$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$，t₂=$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$，
∵t＞3，
∴t=$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$．
综上所述，出发后$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$s或$\frac{5}{2}$s或$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$s时，△MON的面积为$\frac{1}{4}$cm²．

点评 此题考查四边形综合题，动点问题，综合利用菱形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识建立一元二次方程解决问题，注意分类讨论思想的运用．