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13.如图,菱形ABCD中,AC,BD交于点O,AC=8cm  BD=6cm,动点M从A点出发沿AC方向以2cm/s匀速直线运动到C点,动点N从B点出发沿BD方向以1cm/s匀速直线运动到D点,若M,N同时出发,设运动时间为t秒:
(1)当t=1秒时,M,N两点之间的距离是多少?
(2)当2<t<3时,用含t的代数式表示OM的长;
设W=MN2,求W关于t的函数关系式;            
(3)当t为何值时,△MON的面积为$\frac{1}{4}$cm2

分析 (1)利用菱形的性质得出OM、ON,利用勾股定理得出MN即可;
(2)当2<t<3时,OM=2t-4,ON=3-t,利用勾股定理求得MN的平方即可;
(3)根据点M、N运动过程中与O点的位置关系,分当t<2时,点M在线段AO上,点N在线段BO上、当2<t<3时,点M在线段OC上,点N在线段BO上和当t>3时,点M在线段OC上,点N在线段OD上三种情况分别讨论,利用三角形的面积建立方程求得答案即可.

解答 解:(1)∵菱形ABCD中,AC=8cm  BD=6cm,
∴OA=4,OB=3,
∵当t=1秒时,OM=4-2=2,ON=3-1=2,
∴MN=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$;
(2)当2<t<3时,OM=2t-4,ON=3-t,
W=MN2=OM2+ON2=(2t-4)2+(3-t)2=5t2-22t+25;
(3)①当t<2时,点M在线段AO上,点N在线段BO上.
$\frac{1}{2}$(4-2t)(3-t)=$\frac{1}{4}$;
解得t1=$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$,t2=$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$,
∵t<2,
∴t=$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$;
②当2<t<3时,点M在线段OC上,点N在线段BO上,
$\frac{1}{2}$(2t-4)(3-t)=$\frac{1}{4}$;
解得t1=t2=$\frac{5}{2}$;
③当t>3时,点M在线段OC上,点N在线段OD上,
$\frac{1}{2}$(2t-4)(t-3)=$\frac{1}{4}$;
解得t1=$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$,t2=$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$,
∵t>3,
∴t=$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$.
综上所述,出发后$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$s或$\frac{5}{2}$s或$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$s时,△MON的面积为$\frac{1}{4}$cm2

点评 此题考查四边形综合题,动点问题,综合利用菱形的性质,勾股定理,三角形的面积等知识建立一元二次方程解决问题,注意分类讨论思想的运用.

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