Question

启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量是原销售量的y倍，且y=-

x2

10

+

7

10

x+

7

10

，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：
（1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？
（2）把（1）中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：

项目	A	B	C	D	E	F
每股（万元）	5	2	6	4	6	8
收益（万元）	0.55	0.4	0.6	0.5	0.9	1

如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目．

Answer 1

分析：（1）已知了年销售量，那么可根据“产品的年销售量是原销售量的y倍”，可用x表示出年销售总量，然后根据年销售总量-成本-广告费=利润，列出关于S与x的函数关系式．然后根据得出的函数的性质求出S的最大值．
（2）根据（1）中得出的利润额，就能求出除去广告费用后的投资额，然后根据6中股票的单价，找出符合条件的方案即可．

解答：解：（1）S=10×（-

x2

10

+

7

10

x+

7

10

）×（4-3）-x=-x²+6x+7
即S=-（x-3）²+16
因此：当x=3时Smax=16．
∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利润是16万元．

（2）用于再投资的资金是16-3=13（万元）
经分析，有两种投资方式符合要求．
一种是取A、B、E各一股，投入资金为5+2+6=13（万元）
收益为0.55+0.4+0.9=1.85（万元）＞1.6（万元）
另一种是取B、D、E各一股，投入资金为2+4+6=12（万元）＜13（万元）
收益为0.4+0.5+0.9=1.8（万元）＞1.6（万元）．

点评：本题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出关于S与x的函数关系式是解题的关键．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好．