Question

15．如图，在面积为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据AD是等边三角形的高可知，AD是线段BC的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质及三角形全等的判定定理可求出△EBF≌△ECF，故阴影部分的面积等于△ABD的面积，由锐角三角函数的定义可求出AD的长，再由三角形的面积公式即可求解．

解答 解：∵AD是等边三角形的高，
∴AD是线段BC的垂直平分线，BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴BE=CE，BF=CF，EF=EF，
∴△EBF≌△ECF，
∴S_阴影=S_△ABD，
∴AD=AB•sin∠ABD=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=$\frac{1}{2}$BD•AD=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是等边三角形的性质，即等边三角形底边上的高、垂直平分线及顶角的角平分线三线合一．