如图,在Rt△ABC中,AB=AC,D、E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ADC绕点A顺时针旋转90°后,得到△AFB,连接EF,下列结论中正确的个数有①∠EAF=45°;②△ABE∽△ACD;③AE平分∠CAF;④BE2+DC2=DE2( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
解析试题分析:①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF,因为∠BAC=90°,∠DAE=45°,所以∠CAD+∠BAE=45°,可得∠EAF=45°;
②因为∠CAD与∠BAE不一定相等,所以△ABE与△ACD不一定相似;
③根据SAS可证△ADE≌△AFE,得∠AED=∠AEF;DE=EF;
④BF=CD,EF=DE,∠FBE=90°,根据勾股定理判断.
解:①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF.
∵∠BAC=90°,∠DAE=45°,
∴∠CAD+∠BAE=45°.
∴∠EAF=45°,故①正确;
②因为∠CAD与∠BAE不一定相等,所以△ABE与△ACD不一定相似,故②错误;
③∵AF=AD,∠FAE=∠DAE=45°,AE=AE,
∴△ADE≌△AFE,得∠AED=∠AEF,
即AE平分∠DAF,故③错误;
④∵∠FBE=45°+45°=90°,
∴BE2+BF2=EF2(勾股定理),
∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后,得到△AFB,∴△AFB≌△ADC,∴BF=CD,
又∵EF=DE,
∴BE2+CD2=DE2(等量代换).故④正确.
故选B.
考点:相似三角形的判定;全等三角形的判定与性质;勾股定理;旋转的性质.
点评:此题主要考查图形的旋转变换,解题时注意旋转前后对应的相等关系.
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