Question

如图1，在四边形ABCD中，∠D=90°，BC∥AD．BC=20，DC=16，AD=30，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，运动时间为t（秒）
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，使得线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB；
（3）当t为何值时，使得PQ⊥BD；
（4）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形

Answer 1

分析：（1）由CQ=t，PD=2t，∴BQ=20-t，则可求出答案；
（2）根据△BOQ∽△AOP即可得出答案；
（3）作QM⊥AD，则△PQM∽△DCB，即可得出答案；
（4）分三种情况讨论即可得出答案；

解答：解：（1）CQ=t，PD=2t，∴BQ=20-t，∴s=

1

2

（20-t）×16=-8t+160；
（2）由题知：AP=2t-30，则△BOQ∽△AOP，
∴

BQ

AP

=

BO

AO

=2，∴

20-t

2t-30

=2，解得t=16，经检验知16是方程的根，所以当t=16s时，2AO=OB；

（3）作QM⊥AD，
则△PQM∽△DCB，
∴

PQ

DC

=

QM

CB

=

PM

DB

，
∴

16

20

=

t

16

，
解得：t=12.8s；

（4）①当PB=PQ时，NQ=BN，∴20-2t=t，t=

20

3

；

②当PQ=BQ时，t²+16²=（20-t）²，解得t=3.6；
③当BQ=PB时，无解，
综上所述当t=

20

3

或3.6时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，难度较大，关键是掌握分类讨论的思想解题．