分析 (1)可通过证三角形BEC和ACD全等来得出BE=AD;
(2)由于重合部分的面积无法直接求出,因此可用△RPQ的面积减去△RST的面积来求得(S、T为RP、RQ与AC的交点).△PRQ的面积易求得,关键是△RST的面积,三角形RST中,由于∠RTS=∠CTQ=60°-∠TCQ=30°,而∠R=60°,因此△RST是直角三角形,只需求出RS和ST的长即可.上面已经求得了∠QTC=∠QCT=30°,因此RT=RQ-QT=RQ-QC=3-x,然后根据△RTS中特殊角的度数,即可得出RS和ST的长,进而可得出y与x的函数关系式;
(3)本题可通过证△GEM和△NGO相似来求解.
解答 解:(1)BE=AD.
证明:如图2,∵△ABC与△DCE是等边三角形,
∴∠ACB=∠DCE=60°,CA=CB,CE=CD,
∴∠BCE=∠ACD,
在△BCE与△ACD中,
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$,
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴BE=AD;
(2)如图3,在△CQT中
∵∠TCQ=30°∠RQP=60°,
∴∠QTC=30°,
∴∠QTC=∠TCQ,
∴QT=QC=x,
∴RT=2-x,
∵∠RTS+∠R=90°
∴∠RST=90°
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×22-$\frac{\sqrt{3}}{8}$(2-x)2=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$(2-x)2+$\sqrt{3}$(0≤x≤2);
(3)ON•EM的值不变,
理由为:如图4,∵∠AGB=60°,
∴∠MGE+∠NGO=120°,
∵∠GNO+∠NGO=120°,
∴∠MGE=∠GNO,
∵∠E=∠O,
∴△EMG∽△OGN,
∴$\frac{EM}{OG}$=$\frac{EG}{ON}$,
∴ON•EM=OG•EG=1.
点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质以及二次函数的应用等知识.此题难度较大,解决问题的关键是方程思想与数形结合思想的综合应用.
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